Подборка заданий №13 ЕГЭ

ЗАДАНИЕ 13 из ЕГЭ по базовой математики

Формулы площадей для решения задач:

1. Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 12 и 5. Найдите высоту этой пирамиды, если её объем равен 60.

Решение :

Объём пирамиды может быть вычислен по формуле Sh, где S — площадь основания, а h — длина высоты. При этом, мы можем вычислить площадь основания, как площадь прямоугольника: 12⋅5= 60. Подставим это значение в формулу, и получим

60= ⋅60h ⇔ 3= h.

Ответ: 3

2. Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 5 и 6, а второго — 3 и 4. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой поверхности второго?

Решение:

Заметим, что площадь боковой поверхности может быть найдена по формуле Sбок = πrl, где r — радиус основания, а l — длина образующей. Таким образом, площади боковых поверхностей конусов равны

S1 = π⋅5⋅6 =30π,

S2 = π⋅3⋅4 =12π.

Следовательно, площадь боковой поверхности первого конуса больше в

Ответ: 2,5

3. В треугольной пирамиде ABCD рёбра AB, AC и AD взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если AB = 3,AC =18 и AD =7.

Решение:

Площадь пирамиды может быть найдена по формуле

где h — высота, в нашем случае DA, равная 7.

А площадь основания, как площадь прямоугольного треугольника, может быть найдена по формуле

Подставим полученные значения в исходную формулу:

Ответ: 63

4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 1 и 5, а объём параллелепипеда равен 30. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

Решение:

Вспомним, что объём параллелепипеда равен произведению трёх рёбер: V = abc. Откуда можем найти величину третьего ребра:

a ⋅1 ⋅5= 30 ⇔ a= 6

Теперь заметим, что площадь поверхности равна удвоенной сумме площадей трёх прямоугольников:

S = 2(ab+ ac+bc).

Поэтому искомая величина равна:

S = 2⋅(6 ⋅1+ 6⋅5+ 1⋅5)=

= 2 ⋅(6+ 30+ 5)= 2⋅41= 82

Ответ: 82

5. Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 10, а второго — 5 и 4. Во сколько раз объём второго цилиндра меньше объёма первого?

Решение:

Объем цилиндра находится по формуле V = h ⋅πR2.

Чтобы найти во сколько раз объем второго цилиндра меньше объёма первого, необходимо разделить их объемы

Получилось, что объем второго цилиндра в 1,6 раза меньше объема первого.

Ответ: 1,6

6. В треугольной пирамиде ABCD рёбра AB, AC и AD взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если AB = 6,AC =18 и AD =8.

Решение:

Площадь пирамиды может быть найдена по формуле

где h — высота, в нашем случае DA, равная 8.

А площадь основания, как площадь прямоугольного треугольника, может быть найдена по формуле

Подставим полученные значения в исходную формулу:

Ответ: 144

7. Даны два шара с радиусами 6 и 2. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

Решение:

Площадь поверхности шара можно найти по формуле

где R — радиус шара.

Таким образом, отношение соответствующих площадей у данных шаров равняется:

Ответ: 9

8. Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 6 и 8. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 80.

Решения:

Объём пирамиды может быть вычислен по формуле , где S — площадь основания, а h — длина высоты. При этом, мы можем вычислить площадь основания, как площадь прямоугольника: 6⋅8= 48. Подставим это значение в формулу, и получим

Ответ: 5

9. Даны два шара с радиусами 10 и 2. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

Решение:

Объём шара можно найти по формул

где R — радиус шара.

Таким образом, отношение объёмов у данных шаров равняется:

Ответ: 125

10. Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 3 и 6, а второго — 2 и 5. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?

Решение:

Объем цилиндра находится по формуле

Чтобы найти во сколько раз объем первого конуса больше объёма второго, необходимо разделить их объемы

Ответ: 2,7

Спасибо за внимание