Подготовка к ОГЭ. "Параллелограмм"

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ ОГЭ по теме «ПАРАЛЛЕЛОГРАММ»

Памятка.

Четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны, называется параллелограммом.

Свойства:

• В параллелограмме противоположные стороны равны.

• В параллелограмме противоположные углы равны.

• В параллелограмме сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна 180°.

• Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

• Диагональ параллелограмма делят его на два равных треугольника.

Признаки:

• Если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

• Если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник параллелограмм.

• Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм.

• Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм.

Свойство диагоналей параллелограмма:

• Диагонали параллелограмма пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.

Свойство противоположных сторон и углов параллелограмма:

• У параллелограмма противоположные стороны и углы равны.

Это интересно:

• Если провести биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма, то они будут параллельны или совпадут.

• Если провести биссектрисы двух углов, прилегающих к одной стороне параллелограмма, то они будут перпендикулярны.

Площадь параллелограмма.

S = ah, S = d₁d₂sin, S = absin, гдеa,b- стороны, – угол между сторонами.

В параллелограмме можно из одного угла провести 2 высоты.

Меньшая высота проведена к большей стороне.

Большая - к меньшей.

Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны.

АD + BC = AB + CD

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ.

1.Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 26°  и 34°. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение.

А = 26° +34° = 60°
В = 180° - 60 ° = 120°

Ответ. 120

2.Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 33°  и  11°. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

3. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 24° и 47° . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

4.В параллелограмме ABCD  диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и  ACD = 104°. Найдите острый угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение. Пусть CD = x, тогда и ОС = х, ОС = СD, ОСD– равнобедренный.

СОD = (180 – 104): 2 = 38

5. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=1°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

6. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=166°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

7. Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 1  и HD = 28. Диагональ параллелограмма BD равна 53. Найдите площадь параллелограмма.

Решение.AD = 1 + 28 = 29. BH = = = = = 45.

S = AH•BH, S = 29•45 = 1305.

8. Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=1 и HD=63. Диагональ параллелограмма BD равна 65. Найдите площадь параллелограмма.

9. Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=8 и HD=40. Диагональ параллелограмма BD равна 50. Найдите площадь параллелограмма.

10. Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла Aобразует со стороной BC угол, равный 15°. Ответ дайте в градусах.

Решение. ВС АD, то ВСА = САD, а так как АС – биссектриса, то ВАС = САD, то ВСА= ВАС, значит, АВС = равнобедренный. А = 30°.

11. Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 33°. Ответ дайте в градусах.

12. Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 41°. Ответ дайте в градусах.

13. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

14.

15. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30° и 45°. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

16. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 50° и 85°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

17. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

1. 2. 3.

18. Площадь параллелограмма ABCD равна 24. ТочкаE – середина стороны CD. Найдите площадь трапеции ABED.

Решение. Пусть DE = x, тогда АВ = 2х, S_{трапеции} = •h =

S_{паралл.} = CD•h = 2x•h = 24, xh = 12, тогдаS_тр= = 18

19.Площадь параллелограмма  равна 189. Точка  — середина стороны . Найдите площадь трапеции .

20. Площадь параллелограмма  равна 123. Точка  — середина стороны . Найдите площадь трапеции .

ОТВЕТЫ.

II часть.

1.Биссектриса угла  параллелограмма  пересекает сторону  в точке . Найдите периметр параллелограмма, если , .

Решение.

АК - биссектриса, поэтомуВАК=КАD, а КАD= ВКА (как накрест лежащие при параллельных прямых), поэтому треугольник ВАК - равнобедренный, ВА=BK=7, а стороны ВС=АD=7+12=19, отсюда P=19+19+7+7=52.

2.Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=5, CK=14. Ответ. 38

Решите самостоятельно:

1. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 52°  и 10°. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

2. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=173°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

3. Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=7 и HD=24. Диагональ параллелограмма BD равна 51. Найдите площадь параллелограмма.

4. Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 40°. Ответ дайте в градусах.

5. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

II часть.

1. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=8, CK=13.