Параллелограмм. Подготовка к ОГЭ.

Параллелограмм.

Определение.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

ABІІCD, ADІІBC

Свойства параллелограмма.

1⁰. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

AB=CD, AD=BC и / A= / C, / B= / D.

2⁰. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

AO=OC, OB=OD

3⁰. В параллелограмме диагональ делит его на два равных треугольника.

4⁰. Сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180⁰.

Признаки параллелограмма.

1⁰. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

2⁰. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник-параллелограмм.

3⁰. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник-параллелограмм.

Другие факты.

Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

+ 2 + 2

Свойства биссектрис параллелограмма.

• Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

• Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом

• Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются на большей стороне параллелограмма, если она в два раза больше меньшей стороны.

• Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются внутри параллелограмма, если меньшая сторона больше половины большей стороны

• Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются вне параллелограмма, если меньшая сторона меньше половины большей стороны

• Биссектрисы соседних углов параллелограмма могут пересекать противоположную сторону или ее продолжение

• Биссектрисы соседних углов параллелограмма равны и параллельны

• Биссектрисы параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник

• Биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны, а биссектрисы противоположных углов параллельны или лежат на одной прямой ?

1. Задачи с выбором ответа из четырех вариантов.

1 вариант

1. Диагональ параллелограмма образует с одной из сторон угол, равный 68⁰. Найдите величину угла, который эта диагональ образует с противоположной стороной параллелограмма.

1. 68⁰ 2) 34⁰ 3) 56⁰ 4) 136⁰

Количество параллелограммов, изображенных на рисунке равно

1. 4 2) 5 3) 6 4) 7

1. Длина одной из сторон параллелограмма составляет 70% от длины другой стороны. Найдите длину меньшей стороны этого параллелограмма, если его полупериметр равен 34 см.

1. Определить невозможно

2. 10 см

3. 9 см

4. 14 см

1. Сумма градусных мер трех углов параллелограмма равна 260⁰. Найдите величину острого угла этого параллелограмма.

1. 100⁰ 2) 50⁰ 3) 40⁰ 4) 80⁰

1. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180⁰, то может или должен этот четырехугольник быть параллелограммом?

1. Может быть, а может и не быть

2. Не существует

3. Не может быть

4. Может, если один угол прямой

1. Периметр параллелограмма равен 34 см. Какое наибольшее целое значение может принимать длина одной из диагоналей этого параллелограмма?

1. 19 2) 16 3) 11 4) 8

1. О- точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Периметр треугольника BOC на 5 больше периметра треугольника COD. Найдите разность длин сторон AD и AB.

1. 8 2) -8 3) -6 4) 5

1. Биссектриса СК угла BCD параллелограмма ABCD делит сторону AD на отрезки АК=3 КD=5. Найдите периметр этого параллелограмма.

1. Другой ответ

2. 40

3. 26

4. 34

1. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника, то может или должен этот четырехугольник быть параллелограммом?

1. Не может быть

2. Должен быть

3. Может быть, а может и не быть

4. Не существует

1. На рисунке отрезки BH и BK- высоты параллелограмма ABCD. Найдите величину угла HBK, если величина угла BCD равна 34⁰.

1. 43⁰ 2) 34⁰ 3) 56⁰ 4) 90⁰

2 вариант

1. Диагональ параллелограмма образует с одной из сторон угол, равный 76⁰. Найдите величину угла, который эта диагональ образует с противоположной стороной параллелограмма.

1) 38⁰ 2) 76⁰ 3) 14⁰ 4) 104⁰

2.

Количество параллелограммов, изображенных на рисунке равно

1. 10 2) 5 3) 11 4) 7

3. Длина одной из сторон параллелограмма составляет 60% от длины другой стороны. Найдите длину меньшей стороны этого параллелограмма, если его полупериметр равен 16 см.

1. 10 см 2) 6 см 3) 9 см 4) 5 см

4. Сумма градусных мер углов параллелограмма равна 250%.Найдите величину тупого угла этого параллелограмма.

1) 110⁰ 2) 100⁰ 3) 140⁰ 4) 150⁰

5. Если сумма только двух соседних углов четырехугольника равна 180⁰, то может или должен этот четырехугольник быть параллелограммом?

1. Может быть, а может и не быть

2. Не существует

3. Должен быть

4. Не может быть

1. Периметр параллелограмма равен 30 см. какое наибольшее целое значение может принимать длина одной из диагоналей этого параллелограмма?

1. 19 2) 8 3) 11 4) 4

1. О- точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Периметр треугольника AOD на 8 больше периметра треугольника COD. Найдите разность длин сторон ВС и АВ.

1. 8 2) -8 3) 7 4) -6

1. Биссектриса ВК угла АВС параллелограмма ABCD делит сторону CD на отрезки СК=8 и КD=4. Найдите периметр этого параллелограмма.

1. 40 2) 24 3) 34 4) другой ответ

9. Если диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два равных треугольника, то может или должен этот четырехугольник быть параллелограммом?

1. Должен быть

2. Может быть, а может и не быть

3. Не может быть

4. Не существует

1. На рисунке отрезки AP и AH- высоты параллелограмма ABCD.

Найдите величину угла PAH, если величина угла ADC равна 27⁰.

1. 90⁰ 2) 32⁰ 3) 63⁰ 4) 27⁰

Ответы:

1вариант 2 вариант

1. 1 1. 2

2. 3 2. 1

3. 4 3. 2

4. 4 4. 1

5. 1 5. 4

6. 2 6. 4

7. 4 7. 1

8. 3 8. 1

9. 3 9. 2

10. 2 10. 4

1. Задачи по готовым чертежам.

Параллелограмм.

1. / D - / A=24⁰.

Найти / A.

1. / A+ / D +/ C=250⁰.

Найти / D - / A .

1. / A+ / C=/ D.

Найти / A.

1. AD=AB+3, =34.

Найти AD.

1. AD=3AB, =72.

Найти AD.

1. AD+ AB=11, AD- 2AB=2.

Найти AD – AB

1. / 1+/3=80⁰, / 4+ / 2=140⁰.

Найти / 1.

1. / ABC - / 1 =60⁰, / 2= 2 /5.

Найти / 1- / 5.

1. / 2 - / 3=70⁰, / 2- / 1 =80⁰.

Найти / 1.

1. BD І AB, / 1=20⁰.

Найти / 5.

1. BD І AB, / 3=29⁰.

Найти / 1+ / 5.

1. BD І AB. AB=BD.

Найти / 1+ / 2 + / ADC.

13. ABCD-параллелограмм.

Найти: / D

14. ABCD- параллелограмм.

Найти: AD

15. Найти угол D параллелограмма ABCD.

16. ABCD- параллелограмм.

Найти:

Ответы:

1. 78⁰

2. 40⁰

3. 60⁰

4. 10

5. 27

6. 5

7. 40⁰

8. 20⁰

9. 30⁰

10. 70⁰

11. 90⁰

12. 270

13. 116⁰

14. 4

15. 115⁰

16. 16

1. Задачи с кратким ответом.

1 вариант

1. Периметр параллелограмма 50 см. Одна из его сторон на 5 см больше другой. Найдите длину большей стороны. Ответ:­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­__________________

2. Стороны параллелограмма относятся как 1: 2, а его периметр равен 30 см. найдите длину меньшей стороны. Ответ:­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­__________________

3. В параллелограмме MNPK проведена высота NE, причем угол NME в 5 раз больше угла MNE. Найдите угол MNP. Ответ:­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­__________________

4. Найдите величину меньшего угла параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна одной из его сторон. Ответ:­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­__________________

5. В параллелограмме ABCD известно, что угол А равен 60⁰, АВ= 10, AD=16. Найдите расстояние от верщины В до биссектрисы угла BCD.

6. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, причем / СОВ=126⁰, / CAD=28⁰ и длина отрезка BD вдвое больше стороны АВ. Найдите угол D параллелограмма.

2 вариант

1. Периметр параллелограмма 60 см. Одна из его сторон на 6 см меньше другой. Найдите длину меньшей стороны. Ответ:­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­__________________

2. Стороны параллелограмма относятся как 3: 1, а его периметр равен 40 см. найдите длину большей стороны. Ответ:­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­__________________

3. В параллелограмме ABCD проведена высота BE, причем угол BCD в 4 раза больше угла ABE. Найдите угол ABC. Ответ:­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­__________________

4. Найдите величину большего угла параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна половине неперпендикулярной к ней стороны параллелограмма. Ответ:­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­__________________

5. В параллелограмме KMNP известно, что угол M равен 120⁰, KM= 8, KP=10. Найдите расстояние от верщины M до биссектрисы угла MKP.

6. В параллелограмме EKFM диагонали пересекаются в точке О , причем / KОF =138⁰, / FEM=34⁰. Найдите угол K параллелограмма, если KM в 2 раза больше MF.

Ответы:

1. вариант

1. 15

2. 5

3. 105

4. 45

5. 8

6. 98

1. Вариант

1. 12

2. 15

3. 108

4. 150

5. 4

6. 104

Тест по теме «Параллелограмм»

1. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.

1)В параллелограмме противолежащие углы равны.

2)Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность.

3)В любом параллелограмме диагонали перпендикулярны.

4)Квадрат-это ромб, у которого все углы прямые.

5)В любой четырехугольник можно вписать окружность.

2. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.

1) В параллелограмме противолежащие стороны параллельны.

2)Диагонали ромба равны.

3)Квадрат-это ромб, у которого все углы прямые.

4)В любом параллелограмме суммы противоположных сторон равны.

5)Прямоугольник-это параллелограмм, у которого все углы прямые.

3. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.

1) В параллелограмме противолежащие стороны равны.

2) Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность.

3) Диагонали ромба равны.

4)Квадрат- правильный четырехугольник.

5)В любом параллелограмме суммы противоположных углов равны.

4. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.

1) В параллелограмме противолежащие стороны параллельны.

2) Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность.

3) В любой четырехугольник можно вписать окружность.

4)Ромб- правильный четырехугольник.

5)Квадрат- прямоугольник, у которого все стороны равны.

5. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.

1) В параллелограмме противолежащие углы равны.

2) Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность.

3) Диагонали ромба равны.

4)Квадрат- правильный четырехугольник.

5) В любом параллелограмме суммы противоположных углов равны.

6. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.

1) В параллелограмме противолежащие стороны параллельны.

2) Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность.

3)В любой четырехугольник можно вписать окружность.

4)Ромб- правильный четырехугольник.

5)Квадрат- это прямоугольник, у которого все стороны равны.

7. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.

1)Диагонали ромба равны.

2) В параллелограмме противолежащие стороны равны.

3)Ромб имеет две оси симметрии.

4) В любом параллелограмме суммы противолежащих углов равны.

5) Квадрат- правильный четырехугольник.

8. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.

1) Ромб- правильный четырехугольник.

2) В параллелограмме противолежащие углы равны.

3)Квадрат- это прямоугольник, у которого все стороны равны.

4) В любом параллелограмме суммы противоположных сторон

равны.

5)Правильный четырехугольник имеет четыре оси симметрии.

9. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.

1)В любой параллелограмм можно вписать окружность.

2)Ромб-параллелограмм, у которого все стороны равны.

3)Диагонали правильного четырехугольника равны.

4) Правильный четырехугольник имеет четыре оси симметрии.

5)Правильный четырехугольник имеет бесконечно много осей

симметрии.

10. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.

1)Квадрат- параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.

2)В любой параллелограмм можно вписать окружность.

3)Диагонали ромба перпендикулярны.

4) Параллелограмм имеет бесконечно много осей симметрии.

5)Ромб имеет две оси симметрии.

Ответы:

1. 1,2,4

2. 1,3,5

3. 1,2,4

4. 1,2,5

5. 1,2,4

6. 1,2,5

7. 2,3,5

8. 2,3,5

9. 2,3,4

10. 1,3,5