Подготовка к ЕГЭ. Производная.

1. На ри­сун­ках изоб­ражён гра­фик функ­ции и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой . Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции в точке .

Ре­ше­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу, смеж­но­му с углом ACB

.

Ответ: −0,25.

Ответ: -0,25

27506

-0,25

1. Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те значение параметра , учи­ты­вая, что абс­цис­са точки ка­са­ния боль­ше 0.

1. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции . Пря­мая, про­хо­дя­щая через на­ча­ло

координат, ка­са­ет­ся гра­фи­ка этой функ­ции в точке с абс­цис­сой 8.

Най­ди­те .

1. Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те абс­цис­су точки ка­са­ния.

1. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции . Най­ди­те абс­цис­су точки, в ко­то­рой ка­са­тель­ная к гра­фи­ку па­рал­лель­на оси абс­цисс или сов­па­да­ет с ней.

1. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 38 м/с?

1. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 3 с.

1. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции . Най­ди­те абс­цис­су точки, в ко­то­рой ка­са­тель­ная к гра­фи­ку па­рал­лель­на прямой или сов­па­да­ет с ней.

1. Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те значение параметра . Ре­ше­ние.

2. Найдите  угловой  коэффициент  касательной,  проведенной  к  графику  функции   в  точке .

3. Найти тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой .

4. Найдите  абсциссу  точки  графика  функции   в  которой  угловой  коэффициент  касательной  равен  .

5. На параболе найти точку М, в которой касательная к ней параллельна прямой .

6. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции и от­ме­че­ны точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек зна­че­ние про­из­вод­ной наи­боль­шее? В от­ве­те ука­жи­те эту точку.

1. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции , опре­де­лен­ной на интервале . Най­ди­те ко­ли­че­ство точек ми­ни­му­ма функ­ции на от­рез­ке .

1. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле . Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции  от­ри­ца­тель­на.

1. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции и двенадцать точек на оси абс­цисс: . В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции положительна?

1. На рисунке изображены график функции   и касательная к этому графику, проведённая в точке  . Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции   в точке  .

Ре­ше­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной. По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на оси абс­цисс или сов­па­да­ет с ней, она имеет вид , и её уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент равен 0. Сле­до­ва­тель­но, мы ищем точку, в ко­то­рой уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент, равен нулю, а зна­чит, и про­из­вод­ная равна нулю. Про­из­вод­ная равна нулю в той точке, в ко­то­рой её гра­фик пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс. По­это­му ис­ко­мая точка .

Ответ: -3.

Ответ: -3

40131

-3

Ре­ше­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной. По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты равны. По­это­му абс­цис­са точки ка­са­ния на­хо­дит­ся из урав­не­ния :

.

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

27485

0,5

К заданиям 7 (профиль) и 14 (база)

Физический смысл производной

Скорость – это производная расстояния по времени

Геометрический смысл производной

Производная – это угловой коэффициент касательной, проведённой к графику данной функции в данной точке.

Угловой коэффициент – это тангенс угла наклона касательной.

Если в каждой точке интервала, то функция возрастает на этом интервале (достаточный признак возрастания функции).

Если в каждой точке интервала, то функция убывает на этом интервале (достаточный признак убывания функции).

Решение задач на нахождение точек максимума и минимума (точек экстремума) функции основывается на следующих утверждениях:

Признак максимума (упрощенная формулировка): если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то —точка максимума.

Признак минимума (упрощенная формулировка): если в точке производная меняет знак с минуса на плюс, то —точка минимума.

Точки минимума/максимума называют точками экстремума. В этих точках производная равна 0, а график функции меняет своё поведение («вершинки» и «впадины»)

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке, нужно:

1. Вычислить производную

2. Найти критические точки (приравнять производную к 0)

3. Вычислить значения функции в точках экстремума (критических точках), принадлежащих отрезку, и значения на концах отрезка. Наибольшее (наименьшее) из вычисленных значений и будет наибольшим (соответственно наименьшим) значением функции на отрезке.

Типовые задачи.

1. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

Решение:

1. Выделить на чертеже угол наклона касательной к оси абсцисс (угол между положительным направлением оси абсцисс и касательной)

2. Построить прямоугольный треугольник, содержащий искомый угол (или угол, равный искомому), у которого гипотенузой является отрезок касательной.

3. Найти значение тангенса искомого угла (отношение противолежащего катета к прилежащему).

1. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых чисел , для которых отрицательно / положительно / равно 0.

Решение:

Зная, что поведение функции зависит от знака производной, ищем на графике нужный промежуток и отвечаем на вопрос задачи.

При решении этой задачи важно не ошибиться в том, какие мы точки ищем, с положительной производной или с отрицательной, для этого можно в условии задачи подчеркнуть соответствующее слово.

1. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой .

Решение:

Так как прямая параллельна оси абсцисс, то угловой коэффициент касательной равен 0. Значит, и производная равна 0. А это происходит в точках экстремума.

1. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наименьшее / наибольшее значение?

Задача может звучать так: На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите точку экстремума функции , принадлежащую отрезку .

Задача может звучать так: На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек максимума функции принадлежащих отрезку .

Решение:

Наибольшее / наименьшее значения функция принимает в точках экстремума, т.е. в тех точках, где производная равна 0. Определить знаки производной на заданном отрезке и ответить на вопрос задачи.

1. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение:

Определить знаки производной на заданном отрезке и ответить на вопрос задачи.

1. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество таких чисел , что касательная к графику функции в точке с абсциссой параллельна прямой или совпадает с ней.

Решение:

Угловой коэффициент касательной, а значит, и производная равны . Провести на графике прямую , и ответить на вопрос задачи.

1. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Решение:

Составить систему уравнений , решить её и ответить на вопрос задачи.

1. Материальная точка движется прямолинейно по закону (где —расстояние от точки отсчета, —время, измеренное с начала движения). В какой момент времени ее скорость была равна ?

Решение:

1. Найти производную данной функции

2. Приравнять полученную производную к

3. Решить полученное уравнение и ответить на вопрос задачи.

1. Материальная точка движется прямолинейно по закону (где —расстояние от точки отсчета, —время, измеренное с начала движения). Найти скорость в момент времени .

Решение:

1. Найти производную данной функции

2. Найти значение производной при

3. Ответить на вопрос задачи.

1. На рисунке изображен график функции . Касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой , проходит через начало координат. Найдите .

Решение:

Если касательная проходит через начало координат, то можно изобразить ее на рисунке, проведя прямую через начало координат и точку касания. Далее решение задачи аналогично решению задачи 1.

Предлагаемый материал предназначен как для подготовки выпускников 11-х классов общеобразовательных учреждений к государственной итоговой аттестации по математике, так и при изучении темы «Применение производной». Материал состоит из двух документов: теория по теме и практический тренажёр.

Работы составлена с использованием следующих источников:

1. ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент». Базовый и профильный уровни / под ред. И.В.Ященко. - М. : Издательство Экзамен», 2017. (Серия «ЕГЭ. Банк заданий»)

2. Диагностические и тренировочные работы в формате ЕГЭ - 2019 а также различные пробные варианты ЕГЭ: [Электронный ресурс] URL: http://alexlarin.net/ege19.html

3. Тренировочные материалы в формате ЕГЭ - 2019: [Электронный ресурс] URL: https://ege.sdamgia.ru