Подготовка к ЕГЭ .Решение тригонометрических уравнений.

Подготовка к ЕГЭ по математике.

Решение задач с развернутым ответом.

Решение тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения являются важной составляющей части ЕГЭ по математике с развернутым ответом. По способам решения тригонометрические уравнения делятся на следующие виды:

1. Простейшие тригонометрические уравнения.

2. Уравнения, решаемые по стандартной схеме.

3. Метод разложения на множители, метод понижения порядка, метод введения вспомогательного угла, замена tg t/2.

4. Метод оценок.

1. Простейшие тригонометрические уравнения.

При решении тригонометрических уравнений используются формулы:

arcsin(−a) = −arcsina, |a|≤1

arccos(−a) = π – arccosa, |a|≤1

arctg(−a) = −arctga, a ∈ R

arcctg(−a) = π − arcctga, a ∈ R

sinx = 0 ⇔ x = πn, где n ∈ Z

cosx = 0 ⇔ x = π 2 + πn, где n ∈ Z

sinx = 1 ⇔ x = π 2 + 2πn, где n ∈ Z

cosx = 1 ⇔ x = 2πn, где n ∈ Z

sinx = −1 ⇔ x = − π 2 + 2πn, где n ∈ Z

cosx = −1 ⇔ x = π + 2πn, где n ∈ Z

Пример решения таких уравнений:

tg(3x − 15◦ ) = 1.

Правильная запись решения:

3x − 15◦ = 45◦ + 180◦ · n ⇔ x = 20◦ + 60◦ · n, n ∈ Z,

либо 3x − π 12 = π 4 + πn ⇔ x = π 9 + πn 3, n ∈ Z.

Ответ: x = π /9 + πn /3 , n ∈ Z.

1. Уравнения, решаемые по стандартной схеме.

3 cos2x + 7 sin2x= 0 ⇔ tg 2x=− 3/7 ⇔ 2x=−arctg 3/7 +πn, n∈Z.

Ответ: x = − 1/2 arctg 3/7 + πn/2, n ∈ Z.

1. Метод разложения на множители, метод понижения порядка, метод введения вспомогательного угла, замена tg t/2.

Sin⁸ x – cos⁸ x = cos² x.

Р е ш е н и е.

Так как sin⁸ x – cos⁸ x = (sin⁴ x – cos⁴ x)(sin⁴ x + cos⁴ x) = = (sin² x – cos² x)(sin² x + cos² x)(sin⁴ x + cos⁴ x) = −cos2 x(sin⁴ x + cos⁴ x),

то имеем

sin⁸ x – cos⁸ x − cos 2x = 0 ⇔ −cos ²x(sin⁴ x + cos⁴ x + 1) = 0 ⇔

⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = π/4 + πn/2 , n ∈ Z.

Ответ: x = π/4 + πn/2 , n ∈ Z.

1. Метод оценок.

4 + 8 cos²5x = 3 sinx

Очевидно, что при любом значении x левая часть уравнения 4 + 8 cos²5x ≥ 4, правая часть уравнения 3 sinx ≤ 3.

Уравнение не имеет решений.

Ответ: ∅.

Задание для самостоятельного решения:

а) √3 sin 2x − cos 2x = √3,

б) sin 2x + sin 6x = 3 cos²2x,

в) sin2x + sin6x = 1/2 ,

г) 9cos3xcos 5x + 7 = 9cos3xcosx + 12cos4x,

д) 5sin²x + 3sinxcosx − 4 = 0.