Подготовка к ЕГЭ Шар в заданиях ЕГЭ

Шар

в заданиях

ЕГЭ

Задача №1

Даны два шара. Диаметр первого шара в 8 раз больше диаметра второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

S1:S2= R1²: R2²= (R1/R2)²=(d1/d2)²=8²= 64

Задача №2

Однородный шар диаметром 3 см имеет массу 162 грамма. Чему равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 2 см? Ответ дайте в граммах.

Масса шара прямо пропорциональна его объёму. Объёмы шаров относятся как кубы их радиусов:

V1:V2= R1³: R2³= (R1/R2)³= (d1/d2)²=(2/3)³=8/27 = m1/m2

Следовательно, масса второго, меньшего шара равна 168·(8/27)= 48 грамм .

R³=18π/4π =9/2. Тогда Vk.= 8R³= 8·(9/2)= 36 " width="640"

Задача №3

Шар, объём которого равен 6π, вписан в куб. Найдите объём куба.

Ребро куба равно двум радиусам вписанного в куб шара, поэтому объем куба, выраженный через радиус вписанного в него шара, находится по формуле Vk.=(2R)³= 8R³

Объём шара вычисляется по формуле

V= 4/3·πR³ и это равно 6π.

Значит 4/3·πR³ = 6π = R³=18π/4π =9/2.

Тогда Vk.= 8R³= 8·(9/2)= 36

Задача №4

Объем шара равен 288π. Найдите площадь его поверхности, деленную на π .

Из формулы объёма шара V = 4/3·π·r³ выразим радиус и вычислим его:

Тогда площадь поверхности шара будет равна

S = 4π·r² = 4π·36=144π

Задача №5

Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Объёма шара V = 4/3·π·r³

Поэтому cумма объёмов трёх шаров равна

Значит искомый радиус равен 12.

Задача №6

Около куба с ребром √3 описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на π .

Пусть длина ребра куба равна  а , а его диагональ равна  d . Радиус описанного шара  R  равен половине диагонали куба:

Ответ: 4,5

Задача №7

Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

Из условия S3=S1+S2 и S = 4π·r²

найдём

Задача №8

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.

Задача №9

Куб вписан в шар радиуса √3 . Найдите объем куба.

Диаметр шара, описанного вокруг куба, совпадает с его диагональю и вдвое больше радиуса. Поэтому диагональ куба равна   2√3 . Если ребро куба равно   а, то диагональ куба вычисляется по формуле   d=a√3 . Следовательно, ребро куба равно 2 , а его объем равен 8 .