Подготовка к ЕГЭ (стереометрия).

11 класс ЕГЭ

стереометрия

Залужьева Елена Михайловна

МКОУ СОШ п.Пластун

Задача1

В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

Задача1

В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

Решение:

Найдем V воды в баке после погружения детали

(уровень воды прямопропорционален объему):

V 2 =1,4 V 1 =1,4*5=7 л. Таким образом, при погружении детали в бак объём воды увеличился на V 2 -V 1 =7 - 5=2 л , что и является объёмом детали. В кубических сантиметрах    — 2*1000 см3

Ответ: 2000.

Задача2

В бак, имеющий форму цилиндра, налито 4 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

Задача2

В бак, имеющий форму цилиндра, налито 4 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

Решение:

Найдем V воды в баке после погружения детали

(уровень воды прямопропорционален объему):

V 2 =1,5 V 1 =1,5*4=6 л. Таким образом, при погружении детали в бак объём воды увеличился на V 2 -V 1 =6 - 4=2 л , что и является объёмом детали. В кубических сантиметрах    — 2*1000 см3

Ответ: 2000.

Задача 3

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне ℎ = 80 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Решение.

Объём воды по условию не изменен и вычисляется по формуле:

Таким образом, если радиус основания увеличится вдвое, то при неизменном объёме высота уменьшится в 4 раза . ( )

Ответ: 20.

Задача 4

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/ 2 высоты. Объём сосуда равен 640 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

Задача 4

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/ 2 высоты. Объём сосуда равен 640 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

Решение:

R, r - радиусы (соответственно) большого и малого конуса, H, h - высоты большого и малого конуса:

Задача 4

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1 /2 высоты. Объём сосуда равен 640 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

  Решение:

Выделенные на чертеже треугольники красным цветом, подобны по первому признаку (по двум углам - один из углов является общим, а еще два угла равны по 90 градусов между высотой и радиусом). Это значит, что:

Отношение радиусов и высот конусов

Задача4

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/ 2 высоты. Объём сосуда равен 640 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

  Решение:

Выделенные на чертеже треугольники красным цветом, подобны по первому признаку (по двум углам - один из углов является общим, а еще два угла равны по 90 градусов между высотой и радиусом). Это значит, что:

Отношение радиусов и высот конусов

Задача4

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1 /2 высоты. Объём сосуда равен 640 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

  Решение:

Отношение радиусов и высот конусов

Следовательно:

Радиус и высота малого конуса равны половине радиуса и высоты большого конуса,

Объем большого конуса

V м= 640:8=80 мл

Ответ: 80

Задача 5

Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне ℎ = 100 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, у которого сторона основания вдвое больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Задача 5

Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне ℎ = 100 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, у которого сторона основания вдвое больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Решение :

В основании призмы лежит квадрат со сторонами a.

Тогда объем жидкости в призме равен .

Если эту жидкость перелить в призму с основанием 2a,

то объем жидкости будет вычисляться по формуле .

Так как объем жидкости неизменен, можно приравнять оба выражения, получим:

Ответ: 25.

Задача 6

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 6 и 9, а второго – 9 и 2. Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго цилиндра?

Задача 6

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 6 и 9, а второго – 9 и 2. Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго цилиндра?

Решение:

V цилиндра = πR²h

Число π приблизительно равно 3.14, но не будем его подставлять, так как в итоге оно сократится и ответ будет более точен:

V₁ = π· 6²· 9

V₂ = π· 9²· 2

V₁ / V₂ = π· 6²· 9 / π· 9²· 2 = 324 / 162 = 2 (раза)

- во столько раз объем первого цилиндра больше второго.

Ответ : в 2 раза.

Ответ: 2

Задача 7

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка вдвое выше второй, а вторая в четыре раза шире первой. Во сколько раз объём второй кружки больше объёма первой?

Задача 7

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка вдвое выше второй, а вторая в четыре раза шире первой. Во сколько раз объём второй кружки больше объёма первой?

Решение:

Объём цилиндра вычисляется по формуле

Объём первой кружки равен

объём второй кружки равен

Значит, объём второй кружки в восемь раз больше объёма первой.

Ответ: 8.

Задача 8

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Задача 8

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Решение.

Разобьём эту деталь на две части.

Первая часть со сторонами: 2;1;2.

Вторая часть со сторонами 2;4;3.

Объём первой части: V 1 = 2 · 1 · 2 = 4 см 3 .

Объём второй части: V 2 = 2 · 4 · 3 = 24 см 3 .

Объём детали равен: V д. = 4 + 24 = 28 см 3 .

Ответ: 28.

Задача 9

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Задача 9

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Решение.

Разобьём эту деталь на две части.

Первая часть со сторонами: 1;1;1.

Вторая часть со сторонами 1;4;3.

Объём первой части: V 1 = 1 · 1 · 1 = 1 см 3 .

Объём второй части: V 2 = 1 · 4 · 3 = 12 см 3 .

Объём детали равен: V д. = 1 + 12 = 13 см 3 .

Ответ: 13.

Задача 10

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3, а гипотенуза равна √34. Найдите объём призмы, если её высота равна 6.

√ 34

Задача 10

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3, а гипотенуза равна √34. Найдите объём призмы, если её высота равна 6.

Решение :

Для нахождения V призмы необходимо знать S основания и h призмы. Высота уже известна по условию.

Найдем S основания.

Для прямоугольного треугольника в основании призмы известны катет и гипотенуза, чтобы найти S, нужно знать оба катета.

Второй катет = √((√34) 2  - 3 2 ) = 5.

Тогда площадь треугольника равна 5 * 3 / 2 = 7,5 √34

Найдем объем призмы: V = S * h = 7.5 * 6 = 45.

Ответ: 45.

Спасибо за внимание!