Подготовка к олимпиадам

Подготовка к олимпиадам по математике

Темы олимпиадных заданий

• Натуральные числа
• Делимость натуральных чисел
• Решение уравнений в целых числах
• Доли, дроби и проценты
• Задачи на движение
• Числа и фигуры
• Логические задачи
• Полный перебор вариантов
• Геометрические задачи

Основные приемы решения задач

Если в одной части равенства расположено число, нацело делящееся на 3( на5, на 7, на 11 и т.д.), а в другой части равенства – число, не делящееся нацело на 3( на5, на 7,на 11 и т.д.), то такое равенство невозможно.

1.Натуральные числа Примеры:1 .

• Решение:
• При возведении числа 17 в любую степень получаем числа ,которые последовательно оканчиваются на 7 ,9,3,1,7,9,3,1,7,9,3,1… длина периода повторения равна 4, поэтому 17/4 =4 и остаток 1. Первое число нашей последовательности – это 7 .
• Получаем 10х+7 –(10у+7)=10(х-у).
• Значит данное число оканчивается на 0

• Какой цифрой оканчивается разность

• 43 - 17
• Решение:
• При возведении числа 43 в любую степень получаем числа ,которые последовательно оканчиваются на 3,9, 7 ,1,3,9,7,1,3,9,7,1… длина периода повторения равна 4, поэтому 43/4 =10 и остаток 3. Третье число нашей последовательности – это 7 .

43

17

Пример 2:

Можно ли разменять 25 рублей на рублевые, двухрублевые и пятирублевые купюры так, чтобы получилось 10 купюр?

Решение: x,y,z- количество купюр соответствующего достоинства. По условию задачи составим систему уравнений и вычтем из первого уравнения второе.

X+2y+5z=25, y

X + y+ z=10,

y+4z=15, y=15-4z, 1

(1,7,2), (4,3,3) ответ: да, можно

Пример 3:

• Решение:
• Выражая в через а, в=100-а и составляя уравнение получаем
• 7а+3(100-а)=627
• 7а+300-3а=627
• 4а+300=627
• 4а=327, а не целое
• Ответ: не может

• Число а и в целые. Известно, что
• а+в =100.
• Может ли сумма
• 7а+3в=627?

2. Делимость

• Пример: 1
• Дано пятизначное натуральное число
• 37*86,
• в котором неизвестна средняя цифра, отмеченная *.
• Какую цифру нужно вставить вместо *,
• чтобы это число нацело делилось на 11 ?

• Решение:
• Воспользуемся признаком делимости на 11. Рассмотрим разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах.
• 3+х+6-(7+8)=х-6 . Учитывая, что х -цифра числа, которая может принимать значения от 0 до 9 , и х-6
• Кратно 11, получаем единственную возможность х=6
• Ответ: 6

1000=8*125, 1001=7*11*13

• Пример:2.
• Двузначное число записано подряд три раза. Докажите, что полученное шестизначное число делится на 3, 7, 13, 37.

• Решение:
• Пусть х= ававав= 10101*ав . Заметим, что число 10101 нацело делится на 3,
• 10101=3*3367= 3*7*481=3*7*13*37
• Число х
• нацело делится
• На 3, 7, 13, 37
• Ч.т.д.

Из двух(трех, четырех, и т.д .) последовательных натуральных чисел одно кратно двум(трём, четырем и т.д.)

• Решение:
• 333=3*111, 555=5*111
• 111/37=3
• (111*3) +(111*5) =
• 111 (111 *3 +111 *5 )
• Ч.т.д.

• Пример: 3.

• 333 + 555
• Докажите, что значение выражения делится на 37.

555

333

3*111

5*111

222

333

555

444

111

3.Решение уравнений в целых числах

При решении уравнений в целых числах часто приходится выражать одно неизвестное через другое, выделяя целую часть, деля числитель дроби на её знаменатель.

Если числитель новой дроби- целое число, то находим всевозможные целые множители этого числа и, приравнивая знаменатель дроби к соответствующим множителям, получаем системы уравнений. Решая эти системы уравнений, отбираем среди получаемых результатов целые числа.

Примеры: найдите все целые х и у

2ху+х+у=83

у-х-ху=2

2ху+х+у=83

2ху+у=83-х

у-ху=2+х

у(2х+1)=83-х

у(1-х)=2+х

у=(83-х)/(2х+1)

у=(2+х)/(1-х)

(0;83), (83,0),(-1,-84).

(0,2),(2,-4),

4.Дроби, доли и проценты

Если начальную цену а сначала повысили на х%,

а затем понизили на у%, то новая цена будет

А(1+х/100)(1-у/100)

задача

• Решение:
• а- начальная стоимость товара
• а(1+1/2)(1+1/16)(1-1/2)(1+1/4)=
• а(1-1/4)(1+1/4)(1+1/16)=
• а(1-1/16)(1+1/16)=
• а(1-1/256)=255
• а=255:(1-1/256)=256
• Ответ: 256 руб

• Цену товара сначала повысили на 50%, потом ещё повысили на 25/4 %, после чего цену снизили на 50% и, наконец, повысили на 25%. В результате установилось цена 255 рублей. Чему равна первоначальная цена товара?

задача

На птицеферму привезли корм, которого хватила бы уткам на 30 дней, а гусям – на 45 дней. Рассчитайте, на сколько дней хватит привезенного корма и уткам, и гусям вместе?

1/30+1/45=5/90=1/18

Ответ:18 дней

Не производя указанных умножений, установите, правильной или неправильной дробью является число

244*395-151

244+395*243

Рассмотрим числитель :

244*395-151=(243+1)*395-151=

243*395+395-151=243*395+244

Знаменатель=числителю, дробь - неправильная

5. Задачи на движение

• Пусть плоту потребуется на плавание х суток. Тогда за сутки он будет проходить 1/х часть пути.
• Пароход же проходит за сутки по течению 1/3 часть пути, против течения ¼ часть. За сутки в стоячей воде пароход проходил бы 1/3-1/х либо ¼+1/х
• 1 _ 1 1 + 1
• 3 х 4 х , х=24

• Ответ:24 суток

• Пароход из Волгограда до Астрахани плывет 3 суток , и обратно,4 суток . Сколько суток будет плыть плот от Волгограда до Астрахани?

задачи

• Х-длина шага отца, у –длина шага ребенка.
• 2х=3у х=1,5у
• 4у/v=3*1,5y/ v ,9v/8
• Vt*9/8=26y+vt
• Vt=208y
• S=9/8*208y=234y=1,5y*156
• Ответ: 156

• Непослушный ребенок находится от отца на расстоянии 26 своих шагов. В то время, как он сделал 4 шага, отец успевает 3 , но отец проходит за 2 своих шага столько же, сколько ребенок за 3 .Через сколько шагов отец догонит ребенка?

6.Числа и фигуры

Разрежьте квадрат на четыре части так, чтобы на каждую часть попало по одному заштрихованному квадрату

7.Логические задачи

• При решении логических задач полезно использовать таблицы, в которых последовательно анализируя состояние строк и столбцов, заполняем клеточки таблицы и снова проводим аналогичный анализ. После заполнения всех клеточек получаем решение данной задачи. Табличный способ позволяет наглядно и образно представить ход решения задачи, вскрывая важнейшие логические зависимости между переменными.

Задача о коктейлях

Три подружки - Аня, Света и Настя - купили различные молочные коктейли в белом, голубом и зелёном стаканчиках. Ане достался не белый стаканчик, а Свете - не голубой. В белом стаканчике не банановый коктейль. В голубой стаканчик налит ванильный коктейль. Света не любит клубничный коктейль.

Требуется выяснить, какой коктейль и в каком стаканчике купила каждая из девочек.

Создадим две таблицы:

В белом стаканчике не банановый коктейль.

У Ани не белый стаканчик, а у Светы не голубой.

Света не любит клубничный коктейль, значит у неё не белый стаканчик, а зелёный.

Следовательно в зелёном стаканчике налит банановый коктейль, а в белом – клубничный.

Ванильный коктейль не белом стаканчике и не в зелёном.

Значит у Насти белый стаканчик, а у Ани – голубой.

Значит в голубом стаканчике не банановый и не клубничный коктейль.

В голубом стаканчике налит ванильный коктейль.

Задача о коктейлях

Стаканчик

Девочка

Аня

Белый

Света

Голубой

Настя

Зелёный

1

0

0

Ответ: Аня купила ванильный коктейль в голубом стаканчике, Света - банановый коктейль в зелёном стаканчике, Настя - клубничный коктейль в белом стаканчике.

0

0

1

0

1

0

Стаканчик

Коктейль

Белый

банановый

Голубой

ванильный

Зелёный

клубничный

0

1

0

0

1

0

0

0

1

9.Полный перебор вариантов

Используется принцип Дирихле. Вначале учащиеся путают метод полного перебора с подбором правильного ответа. Метод полного перебора, в отличие от подбора, является мощнейшим и эффективнейшим способом решения олимпиадных задач.

Если число возможных вариантов не очень большое и в каждом из рассматриваемых вариантов можно легко просчитать результат, то , осуществив полный перебор вариантов и проанализировав полученные результаты, находим полное решение поставленной задачи.

примеры

• К числу 199719971997 припишите справа и слева по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 36
• Ответ:
• 31997199719976
• 71997199719972

• Найдите трехзначное число, которое уменьшится в 7 раз при зачеркивании в нем средней цифры .
• 100а+10в+с=7(10а+с)
• 30а=6с-10в
• 15а=3с-5в
• 5в=3с-15а , в кратно 3,т.к. правая часть кратна 3. в =0, 3, 6, 9
• Ответ: 105

Литература:

• 1.Математика 7-8 кл. Ю.В.Лепёхин, Волгоград 2015г
• 2.Математические кружки в школе 5-8 кл., А.В.Фарков. Москва 2008г
• 3. 800 лучших олимпиадных задач 9-11кл.,Э.Н.Балаян.Ростов-на-Дону 2013г