Подготовка к олимпиаде

Модуль 3. Теорема Безу и ее применение

Цели и задачи модуля:

1. Развитие интереса к изучению математики.

2. Развитие умения использовать необходимый для каждой задачи теоретический материал.

Решение задач модуля 2

1. Трехзначное число делится на 37. Докажите, что сумма чисел и также делится на 37.

Доказательство. Так как 111 делится на 37, то на 37 делится число По условию число делится на 37, поэтому и сумма делится на 37.

1. Докажите, что при любом натуральном n число является составным.

Доказательство. Разложим данное выражение на множители.

Очевидно, каждое из слагаемых больше единицы, поэтому число является составным.

1. Сумма четырех натуральных чисел равна 1995. Какое наименьшее значение может принимать их НОК?

Ответ. 570.

Решение. Пусть - натуральные числа, сумма которых равна 1995, и N=НОК(a; b; c; d). Заметим, что все числа равны быть не могут, так как 1995 не делится на 4. Тогда ясно, что (так как и ), Умножая первое равенство на 1/2 и складывая с остальными, получим , т.е. Если то и

Теория

Многочлены

Многочлен относительно переменной x вида

где a₀, a₁, …, a_n– действительныечисла и a₀≠ 0, называется многочленом, расположенным по убывающим степенямx, или многочленом, представленным в каноническом виде.

Числа a₀, a₁, …, a_nназываются его коэффициентами, одночлен a₀xⁿ– егостаршим членом, а число n–степенью многочлена.

Если у многочлена, представленного в каноническом виде, отсутствует некоторая степень x, то коэффициент соответствующего одночлена равен нулю.

Два многочлена, представленные в каноническом виде, тождественно равны, если равны их степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях x.

Если многочлен P_n(x), Q_m(x) и K_l(x) таковы, что справедливо тождественное равенство

то говорят, что каждый из многочленов Q_m(x) и K_l(x) является делителем многочлена P_n(x). При этом говорят, что многочлен P_n(x)делитсянацело на многочлен Q_m(x) (или K_l(x)), и тогда многочлен K_l(x) (соответственно Q_m(x)) называют частным от деления многочлена P_n(x) на многочлен Q_m(x) (соответственно K_l(x)).

Доказывается, что если многочлен степени n делится на многочлен степени m, то частным от деления будет многочлен степени n−m и этот многочлен единственный.

Отсюда следует, что если многочлен P_n(x) степени n делится на многочлен Q_n(x) степени n, то P_n(x) =C∙Q_n(x), где C≠ 0, т.е. коэффициенты этих многочленов пропорциональны.

Свойства делимости многочленов:

1. Если многочлен P_n(x) делится на многочлен Q_m(x), а многочлен Q_m(x) делится на многочлен F_l(x), то многочлен P_n(x) делится на многочлен F_l(x).

2. Если многочлены P_n(x) и Q_m(x) делятся на многочлен K_l(x), то многочлены P_n(x) +Q_m(x) и P_n(x) −Q_m(x) делятся на многочлен K_l(x), а многочлен P_n(x) ∙Q_m(x) делится на многочлен K_l²(x)

3. Если многочлен P_n(x) делится на многочлен Q_m(x), то произведение многочлена P_n(x) на любой многочлен K_l(x)также делится на многочлен Q_m(x).

4. Многочлен P_n(x) и Q_m(x) тогда и только тогда делятся друг на друга, когда P_n(x) =C∙Q_m(x), где C≠ 0.

5. Если многочлен P_n(x) =Q_m(x) ∙K_l(x)делится на двучлен x−α, то хотя бы один из многочленов –Q_m(x) или K_l(x) делится на x−α.

Разделить с остатком многочлен P_n(x) на многочлен T_m(x) (m≤ n) это значит найти многочлены q_l(x)и r_k(x) такие, что справедливо тождественное равенство

где 0 ≤km. При этом многочлен q_l(x) называется частным, а многочлен r_k(x) –остатком.

Заметим, что если многочлен P_n(x) делится с остатком на многочлен T_m(x) , то существует единственная пара многочленов q_l(x) и r_k(x)таких, что
причем l=n − m, 0 ≤km.

Любой многочлен P_n(x) делится на многочлен T_m(x) (m ≤ n) либо нацело, либо с остатком. В первом случае (при делении нацело) частное от деления, а во втором случае (при делении с остатком) частное и остаток можно найти методом неопределенных коэффициентов.

Метод неопределенных коэффициентов.

Даны многочлены:

степени n и

степени m (m ≤n).

Положим частное

(1)

и остаток

(2)

где 0 ≤ l ≤m−1, числа c₁, c₂, …, c_n-mи d₀, d₁, …, d_m-1 не определены.

Напишем тождественное равенство

(3)

Перемножая многочлены T_m(x) и q_n-m(x) и приводя подобные члены, в правой части равенства (3) получим многочлен n-й степени, который записывается в каноническом виде. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x этого многочлена и многочлена P_n(x), получим систему n уравнений, решая которую находим числа c₁, c₂, …, c_n-m, d₀, d₁, …, d_m-1.

Если окажется, что все числа d₀, d₁, …, d_m-1 равны нулю, то это означает, что многочлен P_n(x) делится нацело на многочлен T_m(x). Если хотя бы один из коэффициентов d₀, d₁, …, d_m-1 отличен от нуля, то многочлен P_n(x) делится на многочлен T_m(x) с остатком, при этом степень остатка l равна максимальной степени одночлена от x правой части (2), при котором коэффициент равен нулю.

Деление многочлена на многочлен“ столбиком ” (или“углом”).

В общем случае при делении многочлена P_n(x) на многочлен T_m(x) (m ≤n) “столбиком” многочлены P_n(x) и T_m(x) располагают по убывающим степеням x. Затем старший член многочлена P_n(x) делят на старший член многочлена T_m(x) и получают старший член частного – многочлена q(x). Найденный старший член многочлена q(x) умножают затем на делитель – многочлен T_m(x) и полученный многочлен вычитают из многочлена P_n(x). В результате вычитания получается некоторый многочлен D₁(x) степень которого меньше n.

Если степень многочлена D₁(x) меньше m, то процесс деления окончен, при этом многочлен D₁(x) – остаток. Если степень многочлена D₁(x) больше или равна m, то описанная процедура деления повторяется для многочлена D₁(x), т.е. старший член многочлена D₁(x) делят на старший член многочлена T_m(x) и полученный многочлен вычитают из многочлена D₁(x). В результате вычитания получается многочлен D₂(x), степень которого меньше n − 1. Если степень многочлена D₂(x) меньше n − 1, то процесс деления окончен, при этом многочлен D₂(x) – остаток. Если же степень многочлена D₂(x) больше или равна m, то описанная процедура деления повторяется для многочлена D₂(x).

Процесс продолжается до тех пор, пока степень полученного на k-м шаге многочлена D_k(x) станет меньше степени многочлена T_m(x), т.е. меньше m. При этом многочлен D_k(x)– остаток.

Пример 1.

Пример 2.

При делении многочлена расположенного по убывающим степеням x, на двучлен x − α применяется метод сокращенного деления, называемый схемой Горнера. Этот метод есть непосредственное следствие метода неопределенных коэффициентов. Заметим, что при делении многочлена P_n(x) степени n на двучлен x − α в частном получается многочлен степени n − 1, а в остатке – число (в частности, нуль). По методу неопределенных коэффициентов имеем

т.е.

(4)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части равенства (4), находим

откуда получаем рекуррентные формулы для нахождения коэффициентов частного b₁, b₂, …, b_n-1 и остатка r:

Практически вычисление коэффициентов частного Q_n-1(x) и остатка r проводится по следующей схеме (схема Горнера):

В этой схеме, начиная с коэффициента b₁, каждое число третьей строки получается из предыдущего числа этой строки умножением на число α и прибавлением к полученному результату соответствующего числа первой строки, стоящего над искомым числом.

Пример 3. Используя схему Горнера разделить многочлен

Пример 4. Используя схему Горнера разделить многочлен

При делении многочлена P_n(x) на x − α имеем тождественное равенство

Оно справедливо, в частности, при x=α, т.е.P_n(α)=r.

Следующая теорема позволяет найти остаток от деления многочлена на двучлен, не находя частного.

Теорема Безу. Остаток от деления многочленаP_n(x) на двучленx − αравен значению многочленаP_n(x) приx = α, т.е.r = P_n(α).

При делении многочлена P_n(x) на двучлен вида ax+b получается остаток, равный значению этого многочлена при , т.е. .

Число α называется корнем многочленаP_n(x), если при x= α числовое значение многочлена равно нулю, т.е. P_n(α)=0.

Следствия теоремы Безу:

1. Многочлен P_n(x) делится на x − α тогда и только тогда, когда число α является корнем многочлена P_n(x).

2. Многочлен xⁿ− aⁿ делится на x − a при любом натуральном n, причем

1. Многочлен x²ⁿ− a²ⁿ делится на x+a при любом натуральном n, причем

1. Многочлен x²ⁿ⁺¹+a²ⁿ⁺¹ делится на x+a при любом натуральном n, причем

В общем случае многочлен P_n(x) представим единственным образом в виде произведения многочленов, степень каждого из которых не больше 2, т.е. каждый из которых либо двучлен, либо квадратный трехчлен, не имеющий корней.

Возможность выделения у многочлена линейных множителей связана с наличием у этого многочлена корней.

Утверждения о корнях многочлена.

1. Многочлен n-ой степени имеет не более n действительных корней (с учетом их кратности).

2. Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. (Теорема Виета в общем виде) Если x₁,x₂, …, x_n– действительные корни многочлена

то имеют место следующие равенства:

…

1. Если , то каждый корень многочлена P_n(x) есть корень хотя бы одного из многочленов Q_m(x) и K_l(x), а каждый корень многочлена Q_m(x) и каждый корень многочлена K_l(x)являются корнями многочлена P_n(x).

2. Если α– корень многочлена P_n(x), то где – некоторый многочлен степени n − 1.

Для того, чтобы несократимая дробь p/q (p– целое, q– натуральное) была корнем многочлена

с целыми коэффициентами,необходимо, чтобы число p было делителем свободного члена a_n, а число q– делителем старшего коэффициента a₀.

В частности, если многочлен P_n(x) имеет целые коэффициенты и a₀=1, то рациональными корнями такого многочлена могут быть только целые числа, которые являются делителями свободного члена a_n.

Примеры задач

1. Решите уравнение

Ответ. (0,0), (4,2), (-4,-2).

Решение.Преобразуем выражение в левой части уравнения:

.

Тогда

Откуда получаем ответ.

1. Все коэффициенты многочлена P(x) — целые числа. Известно, что P(1) = 1 и что P(n) = 0 при некотором целом положительном n. Найдите n.

Ответ. 2.

Решение. Воспользуемся тем, что P(x) – P(y) делится на x – y. Отсюда P(n) – P(1) = –1 делится на n – 1. Значит, n – 1 = ±1. Откуда n = 0 или n=2. Поскольку мы ищем натуральный корень, то решение единственное: n = 2.

1. Найдите свободный член многочлена P(x) с целыми коэффициентами, если известно, что он по модулю меньше тысячи, и P(19) = P(94) = 1994.

Ответ. 208.

Решение.Пусть a₀– свободный член многочлена P(x). Тогда

P(x)=x∙Q(x)+a₀,

где Q(x) – многочлен с целыми коэффициентами. Поэтому P(19)=19n+a₀, а P(94)=94m+a₀, где m и n– целые числа. Из условия вытекает, что 19n=94m, следовательно, n=94k, m=19k. Итак, 19 ∙ 94k+a₀=1994, откудаa₀=1994 – 1786k. Из условия |a₀|k=1, a₀=208.

1. Разложите многочлен:

1. на три множителя,

2. на два множителя

с целыми коэффициентами.

Решение. а)

б)

1. При каком значении a многочлены и имеют общий корень?

Решение.Пусть многочлены и имеют общий корень x₀. Тогда, умножив второй многочлен на x и вычитая из первого, получим многочлен, имеющий тот же корень, а этот многочлен – просто . Его единственный корень –x₀=1. Многочлены f(x) и g(x) имеют этот корень при a= –2; чтобы убедиться в этом, достаточно приравнять нулю f(1) и g(1)– оба эти числа равны a+2.

1. Существует ли многочлен P(x) с целыми коэффициентами такой, что P(0)=19, P(1)=85, P(2)=1985.

Указание. Многочлен искать в виде P(x)=ax(x – 1)+bx+c.

Решение. Подставляя в тождество P(x)=ax(x – 1)+bx+c поочередно

x=0, x=1, x=2,

получаем для определения коэффициентов треугольную систему уравнений:

Из которой находим c=19, b=66, a=917 и получаем ответ

1. При каких a, b и c многочлен является точным квадратом другого многочлена и принимает значение 1 при x= - 1.

Ответ. a=4, b=8, c=8; a=8, b=20, c=1; a=0, b=4, c=0; a=-4, b=0, c=8.

Решение. Будем искать многочлен в виде Учитывая, что два многочлена равны, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях и условие задачи получим систему уравнений:

Решая систему, получим первую пару ответов. Находя многочлен в виде , аналогичным образом получаем вторую пару.

1. Разложите многочлен на множители:

а)

б)

Ответ. а)

б)

1. Если в произведении двух чисел первый множитель увеличить на 1, а второй уменьшить на 1, то произведение увеличится на 2011. Как изменится произведение исходных чисел, если, наоборот, первый множитель уменьшить на 1, а второй увеличить на 1?

Ответ. Уменьшится на 2013.

Решение. Пусть изначально были числа x и y (с прозведением ху). После того, как первый множитель увеличили на 1 а второй уменьшили на 1, получилось (х+1)(у-1)=ху+у-х-1. Произведение увеличилось на 2011, то есть у-х-1=2011 или у-х=2012. Если же первый множитель уменьшить на 1, а второй увеличить на 1 получится

(х-1)(у+1)=ху-у+х-1=ху-2012-1=ху-2013.

То есть произведение уменьшилось на 2013.

1. В произведении трех натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно на 2016?

Ответ. Да. Например, 1·1·676.

Решение. В качестве примера подходит произведение 1·1·676. После указанной операции получается (−2)·(−2)·673 = 2692 = 676 + 2016. Отметим, что приведённый пример — единственный. Очевидно, что если все числа больше трех, то произведение может только уменьшиться. Так как произведение трех натуральных чисел положительно, то увеличенное произведение также положительно, поэтому меньше 3 должно быть ровно два каких-нибудь сомножителя. Проверяя возможные случаи (два числа по 1; два числа по 2; одно 1, второе 2). Удовлетворяет условию только случай, когда два из сомножителей равнялись 1, а третий — некоторому числу a. Их произведение было равно a, а после уменьшения превратилось в (−2)²(a − 3) = 4a − 12. Значит, при 4a − 12 = a + 2016 условие соблюдается. Решая это уравнение, получаем a = 676.

1. Разложите многочлен на множители:

а)

б)

Решение.

а)

б)

Здесь а квадратные трехчлены раскладывадись на множителя с использованием формулы для корней квадратного уравнения (через дискриминант).

12. Положительные числа х и у таковы, что Докажите, что

Доказательство.

1 способ. Перепишем условие в виде x²–x = x(x–1)  y, x⁴–x³ = x³(x–1)  y. Тогда x  1 — иначе x(x–1) ≤ 0  y. Следовательно, x³–x² = x²(x–1)  x(x–1)  y. 

2 способ. Так как x²  x+y и x  1, x³  x²+xy  x²+y.

3 способ. Перемножим неравенства x(x–1)  y и x³(x–1)  y (это возможно, так как x–1  0) и извлечем квадратный корень из обеих частей полученного неравенства. Получим искомое неравенство x²(x–1)  y.

Замечание. Как видим, условие x⁴  x³+y — лишнее, но есть и использующие его решения.

1. Найдите все целые а, при которых уравнение имеет целый корень.

Ответ. 0 и 4.

Решение. Пусть x₁ и х₂ — корни данного уравнения. По теореме Виета х₁ + х₂ = -а, x₁ ∙х₂ = a, следовательно, (х₁ + 1) (х₂ + 1) = (х₁ + х₂) + х₁ • х₂ + 1 = 1. Числа х₁ + 1 и х₂ + 1 должны быть целыми, поэтому либо х₁ + 1 = 1 и х₂ + 1 = 1, либо х₁ + 1 = -1 и х₂ + 1 = -1. В первом случае х₁ = х₂ = 0 и а = 0, а во втором — х₁ = х₂ = -2 и а = 4.

1. Длины a, b, c сторон некоторого треугольника удовлетворяют соотношению Докажите, что треугольник прямоугольный.

Доказательство. Имеем

Последняя скобка положительна, а равенство нулю любой из трех первых дает искомое утверждение.

1. Чему может быть равно значение выражения если p является корнем уравнения

Ответ. 2018

Решение. . Т.к. p – корень многочлена стоящего в первой скобке, то все выражение равно 2018.

1. Найти все значения a и b, при которых многочлен делится на

Ответ. При всех и b .

Решение. Если многочлен делится на то многочлен должен делиться на и на Поэтому и , откуда для нахождения a и b получим систему

Отсюда

Следовательно, многочлен делится на при всех a.

1. Доказать, что при любом натуральном n число делится на 7.

Доказательство. Так как и то

Согласно следствию 2 к теореме Безу (модуль 3), при любом натуральном n число

делится на число и число делится на число . Следовательно, число делится на 7 как сумма чисел и каждое из которых делится на 7.

Задания для самостоятельной работы

1. Доказать, что если то

2. Найдите все пары натуральных чисел, для которых выполняется равенство:

1. Разложить многочлен на множители с целыми коэффициентами.

Литература

1. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., Раббот Ж.М., Тоом А.Л. Заочные математические олимпиады.- М.:Наука, 1986.

2. Всероссийские олимпиады школьников по математике 1993-2009: Заключительные этапы / Н. Х. Агаханов и др. Под ред. Н. Х. Агаханова. - М.:МЦНМО, 2010.

3. Гальперин. Г.А., Толпыго А.К. Московские математические олимпиады. М.: Просвещение, 1986.

4. Журналы "Математика в школе", "Квант".

5. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел. М.: Просвещение, 1986.

6. Спивак, А.В. Математический кружок.- М.: Посев, 2003.

7. Фарков, А.В. Математические олимпиады.- М.: Экзамен,2006 .

8. http://kvant.mccme.ru/ - журнал "Квант".

9. http://lib.mexmat.ru/forum/ - форум мехмата МГУ, обсуждаются вопросы, проблемы и задачи по математике.

10. http://olympiads.mccme.ru/mmo/ - Московская математическая олимпиада.

11. http://www.metaschool.ru - Интернет-кружки, интернет-олимпиады, интернет-репетитор.

12. http://www.rusolymp.ru/ - портал Всероссийской олимпиады школьников.

13. http://www.school.mipt.ru/ - ЗФТШ МФТИ.

14. http://www.turgor.ru/ - Турнир Городов - международная математическая олимпиада для школьников.

15. http://www.zaba.ru/ - Математические олимпиады и олимпиадные задачи.