Подготовка к ВПР. Часть 2.

Подготовка к ВПР.

Часть №2.

Математика.

Собрала материал:

Кулиненко Н.И.

У Васи в кармане лежит 16 монет, среди которых есть монеты достоинством 1 рубль, 2 рубля и 5 рублей. При этом общая сумма денег, находящихся в кармане у Васи, составляет 56 рублей. Какое наименьшее число монет достоинством 5 рублей может быть у Васи?

Решение: Боль­ше 10 5-ти руб­ле­вых монет быть не может, так как 11 · 5=55 руб.

Если монет 10, то есть 10 · 5=50 руб., то остав­ши­е­ся 6 руб. надо рас­пре­де­лить между 6 мо­не­та­ми. Это воз­мож­но толь­ко, если все шесть монет будут до­сто­ин­ством 1 руб, что про­ти­во­ре­чит усло­вию — долж­ны быть и мо­не­ты по 2 руб.

Про­ве­рим ва­ри­ант с де­вя­тью 5-рублевыми мо­не­та­ми на сумму 45 руб­лей. Тогда между семью мо­не­та­ми рас­пре­де­лим 11 руб­лей. Это воз­мож­но в ком­би­на­ции 4 мо­не­ты по 2 рубля и 3 по 1 рублю.

До­ка­жем, что это един­ствен­ный ва­ри­ант. Если пя­ти­руб­ле­вых монет мень­ше, на­при­мер 8 штук на сумму 40 руб­лей, то остав­ши­е­ся 16 руб­лей надо на­брать из 8 монет. Это воз­мож­но толь­ко в слу­чае, если все мо­не­ты до­сто­ин­ством 2 рубля — про­ти­во­ре­чит усло­вию. Таким образом, наименьшее число монет достоинством 5 рублей — 9.

В футболе команда получает за победу 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Команда сыграла в чемпионате страны 30 матчей и набрала 75 очков. Какое наибольшее число ничейных матчей могло быть у этой команды?

Рассмотрим максимальное число победных игр: 75 : 3 = 25 (игр), но при таком варианте игр вничью быть не может.

Будем уменьшать число победных игр и считать, сколько за это команда получит очков. Предположим, что победных игр 24: 24 · 3 = 72. Таким образом, в данной конфигурации может быть 24 победы, 3 поражения и 3 ничьи.

Предположим, что победных игр 23: 23 · 3 = 69. Получаем, что 6 очков за ничью и 0 очков за поражение.

Предположим, что победных игр 22: 22 · 3 = 66. Получаем, что такой ситуации быть не может, так как максимальное число игр вничью — восемь, следовательно, 8 очков — 66 + 8 = 74, а в условии сказано, что команда набрала 75 очков.

Таким образом, наибольшее число ничейных матчей — 6.

В классе 24 человека, из них 13 девочек. Известно, что у 15 человек светлые волосы. Сколько может быть девочек со светлыми волосами? Найди наименьшее возможное число.

Всего в классе мальчиков — 24 - 13 = 11. Если предположить, что у всех мальчиков светлые волосы, то тогда

15 - 11 = 4 девочки со светлыми волосами.

Ответ: 4 девочки.

6 карандашей стоят на 30 рублей дешевле, чем 3 ручки и 3 карандаша. На сколько рублей карандаш дешевле ручки?

Решение: составим уравнение согласно условиям задачи

6 (кар) + 30 = 3 (ручки) + 3 (кар). Тогда:

3 (ручки) - 3 (кар) = 30

1 (ручка) - 1 (кар) = 10.

Ответ: на 10 р.

Петя говорит Васе:

«Я тяжелее тебя в два раза». А Вася говорит Пете: «А я легче тебя на 22 килограмма». Оба говорят правду. Сколько килограммов весит Петя?

Пусть х киллограммов весит Петя. Тогда Вася весит — х : 2. Но в то же время Вася весит х - 22. Составим уравнение:

х : 2 = х - 22

х : 2 = 22

х = 22 · 2

х = 44.

Ответ: 44 кг.

В лесу на разных кустах висят 150 шнурков. Сова утверждает, что в среднем два шнурка из трёх, которые можно найти в лесу, ей не подходят, поскольку они слишком длинные для дверного звонка. Ослик Иа утверждает, что в среднем три из пяти шнурков из леса ему не подходят, поскольку они слишком короткие, чтобы сделать из них хвост. Оба правы. Сколько шнурков, висящих на кустах, не подходят ни Сове, ни Иа? Найди наименьшее возможное число.

Найдем, сколько шнурков в среднем не подходят Сове — 150 : 3 · 2 = 100 (шнурков).

Следовательно, Сове подойдут 150 - 100 = 50 (шнурков).

Найдем, сколько шнурков в среднем не подходят Ослику Иа — 150 : 5 · 3 = 90 (шнурков).

Следовательно, Ослику Иа подойдут 150 - 90 = 60 (шнурков).

Таким образом, вычтем из шнурков, которые не подходят Сове, шнурки, которые подходят Ослику Иа, и получим шнурки, которые не подходят ни Сове, ни Ослику Иа: 100 - 60 = 40 (шнурков).

Пять друзей пожали друг другу руки. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Первый человек пожал руку 4  различным  друзьям. Второй человек — трём, третий — двум и т.д. Всего было сделано рукопожатий: 4 + 3 + 2 + 1 = 10.

Ответ: 10.

Электронные часы показывают часы и минуты (от 00:00 до 23:59). Сколько раз за сутки в наборе цифр на табло этих часов участвуют только цифры 2 и 5 или одна из этих цифр?

Рассмотрим все возможные комбинации: 22:22, 22:25, 22:52, 22:55. Итого — 4 раза.

В классе 14 девочек. Из них 8 занимаются танцами, а 9 пением. Сколько девочек и танцует, и поёт?

Если бы все девочки занимались либо танцами, либо пением, то тогда их было бы 8 + 9 = 17. Но поскольку в классе 14 девочек, тогда 17 - 14 = 3 девочки занимаются и танцами, и пением.

Ответ: 3 девочки.

У поля прямоугольной формы одна из сторон равна 30 м. Половина поля засеяна овсом, а другая половина — пшеницей и рожью. Пшеница занимает 600 кв. м, а рожь — одну шестую часть всего поля. Какой длины должен быть забор, огораживающий всё поле?

Необходимо найти периметр прямоугольника. Известно, что одна из сторон равна 30 м. Пусть х — неизвестная сторона прямоугольника. Площадь поля, засеянная овсом равна х : 2 · 30, площадь поля, засеянная пшеницей и рожью равна 600 + х : 6  ·  30. Площадь всего прямоугольника — 30 · х. Тогда можем составить уравнение:

х : 2 · 30 + 600 + х : 6  ·  30 = 30 · х

15 · х + 600 + 5 · х = 30 · х

10 · х = 600

х = 600 : 10

х = 60

Таким образом, неизвестная сторона прямоугольника равна 60 м. Таким образом, периметр прямоугольника равен: 2 ·  (30 + 60) = 180 м.

Ответ: 180 м.

Квадрат со стороной 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 см и выстроили их в один ряд в виде полосы шириной 1 см. Какой длины получилась полоса?

Решение:

1 м = 100 см

Квадрат со стороной 1 м, это тоже самое, что квадрат со стороной 100 см. Его площадь равна 100 · 100 = 10000 см 2 . Площадь квадратов со стороной 1 см равна 1 · 1 = 1 см 2 . Тогда в квадрате площадью 10000 см 2  содержится 10000 : 1 = 10000 квадратов. Если считать, что каждый из них со стороной 1 см, то получим 10000 см = 100 м — длина полосы.

  Ответ: 100 м.

В гараже стоят 750 автомобилей. Грузовые автомобили имеют по 6 колёс, а легковые — по 4 колеса. Сколько и каких автомобилей в гараже, если колёс всего 3024?

Решение: Пусть х — грузовые автомобили, y — легковые автомобили. Тогда x + y = 750 и x = 750 - y. Кроме того, 6х + 4y = 3024. Тогда:

6 · (750 - y) + 4y = 3024

4500 - 6y + 4y = 3024

2y = 1476

y = 738

Тогда x = 750 - 738 = 12 грузовых автомобилей и 738 легковых автомобилей.

Ответ: 12 грузовых и 738 легковых автомобилей.

Магазин получил со склада 100 линеек. Одни из них имеют длину 20 см, а другие — 30 см. Общая длина линеек 22 м. Сколько линеек длиной 20 см получил магазин?

Решение:

1 м = 100 см

Пусть х — число линеек 20 см, y — число линеек длиной 30 см. Тогда x + y = 100 и x = 100 - y. Кроме того, 20x + 30y = 2200. Тогда:

20 · (100 - y) + 30y = 2200

2000 - 20y + 30y = 2200

10y = 2200 - 2000

10y = 200

y = 20

Тогда x = 80, следовательно, 80 линеек длиной 20 см получил магазин.

Ответ: 80 штук.

В товарном составе много вагонов: цистерны, вагоны с лесом и вагоны с углём. Вагонов с лесом 7, цистерн 15, а вагонов с углём на столько же больше, чем вагонов с лесом, на сколько меньше, чем цистерн. Сколько в этом составе вагонов с углём?

Разность между числом цистерн и числом вагонов с лесом равна 8. Значит, вагонов с углём на 4 больше, чем вагонов с лесом, то есть 11.

Допускается другая последовательность действий и рассуждений, обоснованно приводящая к верному ответу.

Ответ: 11.

Груш в саду в четыре раза меньше, чем вишен. Дети решили посчитать все деревья в саду. У Андрея получилось 55 деревьев, у Юры — 58, а у Игоря — 54. Известно, что один из них посчитал верно. Сколько деревьев в саду?

Поскольку груш в саду в четыре раза меньше, чем вишен, общее число деревьев должно делиться на 5. Из полученных чисел только 55 делится на 5.

Допускается другая последовательность действий и рассуждений, обоснованно приводящая к верному ответу.

Ответ: 55.