Россия, Воронеж
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до 24.05.2025
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 27.02.2025 11:01
Бургонова Ирина Ивановна
Заместитель директора по УВР
50 лет
1 786
34 018 
Местоположение
Специализация
Подобные треугольники и отрезки
Категория:
Геометрия
05.09.2022 09:43
Просмотр содержимого документа
«Подобные треугольники и отрезки»
Подобные треугольники
Подобные фигуры
Фигуры принято называть подобными, если они имеют
одинаковую форму (похожи по виду).
Подобие в жизни( карты местности )
Пропорциональные отрезки
Определение: отрезки называются пропорциональными,
если пропорциональны их длины.
6 см
12 см
А 1
А
В
В 1
8 см
4 см
К 1
С 1
К
С
8
С 1 К 1
А 1 В 1
12
АВ
СК
4
6
Говорят, что отрезки А 1 В 1 и С 1 К 1 пропорциональны отрезкам АВ и СК .
Пропорциональны ли отрезки АВ и СК отрезкам ЕР и НТ, если:
да
а) АВ = 15 см, СК = 2,5 см, ЕР = 3 см, НТ = 0,5 см ?
б) АВ = 12 см, СК = 2,5 см, ЕР = 36 см, НТ = 5 см ?
нет
нет
в) АВ = 24см, СК = 2,5 см, ЕР = 12 см, НТ = 5 см ?
Пропорциональные отрезки
1.
Тест
Указать верное утверждение:
а) отрезки АВ и РН пропорциональны
отрезкам СК и МЕ;
б) отрезки МЕ и АВ пропорциональны
отрезкам РН и СК;
в) отрезки АВ и МЕ пропорциональны
отрезкам РН и СК.
А
Е
3 см
С
В
2см
К
9 см
М
6 см
Н
Р
б
АВ
МЕ
Приложение: равенство
СК
РН
можно записать ещё тремя равенствами:
РН
СК
СК
АВ
МЕ
РН
.
;
;
СК
МЕ
РН
АВ
АВ
МЕ
Пропорциональные отрезки
Тест
2 .
Z
2 см
Y
1 c м
F
R
4 см
L
2 см
S
N
3 см
Какой отрезок нужно вписать , чтобы было верным утверждение:
отрезки FY и YZ пропорциональны отрезкам LS и …….
а) RL ; б) RS ; в) SN
а) RL
Пропорциональные отрезки
( нужное свойство )
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону
на отрезки, пропорциональные прилежащим
сторонам треугольника.
Дано: АВС, АК – биссектриса.
А
КС
ВК
Доказать:
2
АС
АВ
1
Доказательство:
С
К
В
Н
Т. к. АК – биссектриса, то 1 = 2, значит,
АВК и АСК имеют по равному углу, поэтому
АВ ∙ АК
S АВК
AB
AC
АС ∙ АК
BK
S АСК
AB
K С
А C
Проведём АН ВС.
ВК
S АВК
АВК и АСК имеют общую высоту АН, значит,
К C
S АСК
КС
ВК
Следовательно,
АС
АВ
Подобные треугольники
Определение: треугольники называются подобными, если углы
одного треугольника равны углам другого треугольника
и стороны одного треугольника пропорциональны
сходственным сторонам другого.
В 1
В
С 1
С
А
А 1
~
А 1 = А, В 1 = В, С 1 = С
A 1 B 1 C 1 ABC
А 1 В 1
А 1 С 1
K – коэффициент подобия
В 1 С 1
k
АС
ВС
АВ
Сходственными сторонами в подобных треугольниках
называются стороны, лежащие против равных углов.
Подобные треугольники
Нужное свойство:
В 1
В
~
A 1 B 1 C 1 ABC ,
С 1
С
K – коэффициент подобия
А
А 1
ABC ~ A 1 B 1 C 1 ,
А 1 = А, В 1 = В, С 1 = С,
1
1
АС
АВ
ВС
– коэффициент подобия
k
А 1 С 1
k
В 1 С 1
А 1 В 1
Реши задачи
- Найти стороны А 1 В 1 С 1 , подобного АВС, если
АВ = 6, ВС= 12. АС = 9 и k = 3 .
2. Найти стороны А 1 В 1 С 1 , подобного АВС, если
АВ = 6, ВС= 12. АС = 9 и k = 1/3.
3. По данным на чертеже найти стороны АВ и В 1 С 1
подобных треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 :
В
В 1
4
?
?
2,5
3
6
С 1
А 1
С
А
Теорема 1. Отношение периметров подобных треугольников
равно коэффициенту подобия.
Дано: МКЕ ~ АВС,
К
B
K – коэффициент
подобия.
C
Е
Доказать: Р МКЕ : Р АВС = k
A
М
Доказательство:
Т. к. по условию МКЕ ~ АВС, k – коэффициент подобия, то
МК
КЕ
МЕ
Значит, МК = k ∙ АВ, КЕ = k ∙ ВС, МЕ = k ∙ АС.
K ,
АВ
ВС
АС
Р МКЕ = МК + КЕ + МЕ = k ∙ АВ + k ∙ ВС + k ∙ АС = k ∙ (АВ + ВС + АС) = k ∙ Р АВС .
Значит, Р МКЕ : Р АВС = k .
Теорема 2. Отношение площадей подобных треугольников
равно квадрату коэффициент a подобия.
Дано: МКЕ ~ АВС,
К
B
K – коэффициент
подобия.
C
Е
Доказать: S МКЕ : S АВС = k 2
A
М
Доказательство:
Т. к. по условию МКЕ ~ АВС, k – коэффициент подобия, то
ME
MK
M = A,
k,
значит, МК = k ∙ АВ, МЕ = k ∙ АС.
AB
AC
k ∙ АВ ∙ k ∙ АС
MK ∙ ME
S MKE
k 2
AB ∙ AC
АВ ∙ АС
S ABC
Реши задачи
- Две сходственные стороны подобных треугольников равны
8 см и 4 см. Периметр второго треугольника равен 12 см.
Чему равен периметр первого треугольника ?
24 см
2. Две сходственные стороны подобных треугольников равны
9 см и 3 см. Площадь второго треугольника равна 9 см 2 .
Чему равна площадь первого треугольника ?
81 см 2
3. Две сходственные стороны подобных треугольников равны
5 см и 10 см. Площадь второго треугольника равна 32 см 2 .
Чему равна площадь первого треугольника ?
8 см 2
4. Площади двух подобных треугольников равны 12 см 2 и 48 см 2 .
Одна из сторон первого треугольника равна 4 см. Чему равна
сходственная сторона второго треугольника ?
8 см
Решение задачи
Площади двух подобных треугольников равны 50 дм 2 и
32 дм 2 , сумма их периметров равна 117 дм. Найдите
периметр каждого треугольника.
Дано: АВС , РЕК подобны, S АВС = 50 дм 2 , S РЕК = 32 дм 2 ,
Р АВС + Р РЕК = 117дм.
Найти: Р АВС , Р РЕК
Решение:
Т. к. по условию треугольники АВС и РЕК подобны, то:
S АВС
50
25
5
K 2 .
Значит, k =
S РЕК
16
32
4
Р АВС
Р АВС
5
Значит, Р АВС = 1,25 Р РЕК
1,25
K ,
Р РЕК
Р РЕК
4
Пусть Р РЕК = х дм, тогда Р АВС = 1,25 х дм
Т. к. по условию Р АВС + Р РЕК = 117дм, то 1,25 х + х = 117, х = 52.
Значит, Р РЕК = 52 дм, Р АВС = 117 – 52 = 65 (дм).
Ответ: 65 дм, 52 дм.
« Математику уже затем учить следует,
что она ум в порядок приводит»
М. В. Ломоносов
Михайлова Л. П.
ГОУ ЦО № 173.
© 2022, Бургонова Ирина Ивановна 600 3
Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей
Похожие файлы
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
Закрыть через 5 секунд
