Показательные уравнения и методы их решения с применением компьютерных технологий

Показательные уравнения и методы их решения с применением компьютерных технологий

Определение.

Показательным уравнением называется уравнение, содержащее переменную в

показателе степени.

Показательные уравнения относятся к классу трансцендентных уравнений. Это труднопроизносимое название говорит о том, что такие уравнения, вообще говоря, не решаются в виде формул.

Их можно решать только приближенно численными методами на компьютерах. А какже быть с экзаменационными задачами? Вся хитрость состоит в том, что экзаменатор так составляет задачу, что она как раз допускает аналитическое решение. Иными словами, Вы можете (и должны!) проделать такие тождественные преобразования, которые сводят данное показательное уравнение к самому простому показательному уравнению. Это самое простое уравнение так и называется: простейшее показательное уравнение. Оно решается логарифмированием.

Для успешного решения показательных уравнений необходимо:

1. Не только активно знать все показательные тождества, но и находить множества значений переменной, на которых эти тождества определены, чтобы при использовании этих тождеств не приобретать лишних корней, а тем более, - не терять решений уравнения.

1. Активно знать все показательные тождества.

1. Четко, подробно и без ошибок проделывать математические преобразования уравнений (переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, не забыв про смену знака, приводить к общему знаменателю дроби и тому подобное). Это называется математической культурой. При этом сами выкладки должны делаться автоматически руками, а голова должна думать об общей путеводной нити решения. Делать преобразования надо как можно тщательней и подробней. Только это даст гарантию верного безошибочного решения. И помнить: небольшая арифметическая ошибка может просто создать трансцендентное уравнение, которое в принципе не решается аналитически. Выходит, Вы сбились с пути.

4. Знать методы решения задач. Для правильного ориентирования на каждом этапе Вам придется (сознательно или интуитивно!):

• определить тип уравнения;

• вспомнить соответствующий этому типу метод решения задачи.

Этап обобщения и систематизации изученного материала.

Рис.1. На рисунке представлена общая схема всех типов показательных уравнений.

Как видно из этой схемы стратегия решения показательных уравнений состоит в том, чтобы привести данное показательное уравнение к уравнению, прежде всего, с одинаковыми основаниями степеней, а затем - и с одинаковыми показателями степеней.

Получив уравнение с одинаковыми основаниями и показателями степеней, Вы заменяете эту степень на новую переменную и получаете простое алгебраическое уравнение (обычно, дробно-рациональное или квадратное) относительно этой новой переменной.

Решив это уравнение и сделав обратную замену, Вы в результате приходите к совокупности простейших показательных уравнений, которые решаются в общем виде с помощью логарифмирования.

Особняком стоят уравнения, в которых встречаются лишь произведения (частные) степеней. Воспользовавшись показательными тождествами, удается эти уравнения привести сразу к одному основанию, в частности, - к простейшему показательному уравнению.

Рассмотрим, как решается показательное уравнение с тремя разными основаниями степеней.

(Если у учителя есть обучающая компьютерная программа Л.Я. Боревского "Курс математики - 2000", то естественно работаем с диском, если нет -можно на каждую парту сделать распечатку такого типа уравнения из нее, представленную ниже.)

Приложение 1

Рис.2. План решения уравнения.

Рис.3 Начало решения уравнения

Рис.4 Окончание решения уравнения.

Выполнение практической работы.

Приложение 2 (раздаточный материал в Word для практической работы).

Задание: из списка уравнений выбрать уравнения указанного типа (№ ответа занести в таблицу) и решить их (ответ занести в таблицу):

1. Три разных основания степеней

2. Два разных основания - разные показатели степени

3. Основания степеней - степени одного числа

4. Одинаковые основания - разные показатели степеней

5. Одинаковые основания степеней - одинаковые

показатели степеней

1. Произведение степеней

2. Два разных основания степеней - одинаковые показатели

3. Простейшие показательные уравнения

1. 

2. 

3. 

4. (

5. 

6. 

Выполняется попарная взаимопроверка с выставлением оценок.

Нормы оценок:

"5" - 100%

"4" - 1 ош. - 88%

2 ош. - 75%

"3" - 3 ош. - 63%

"2" - 4 ош. - 50%.

Решение нестандартного показательного уравнения.

А теперь решим с вами одно из нестандартных показательных уравнений, которые необходимо научиться решать при подготовке кЕГЭ (задание уровня С).

№218* (См. А.В. Столин. Комплексные упражнения по математике с решениями, 7-11 классы. Харьков, ИМП «Рубикон», 1995)

Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 

Этап информации о домашнем задании

Домашнее задание.

Определить тип уравнения и решить его.

1. 

2. 

3. 0,125

5.

6.