Показательные уравнения и системы

Показательные уравнения и системы

1) Подготовительный этап.

Перепишите, заполните пропуски и оформите решения:
Пример 1. Решите уравнения: а)  , б)

а) Решение:

Чтобы решить это уравнение, вспомним свойства степени и приведем правую и левую части уравнения к степени с основанием 5: ,

Если степени с равными основаниями равны, то равны их показатели. Приравняем показатели степеней: х – 7 = - 3, х = 7 – 3, х = ...

Ответ: 4 .

б) Решение:

Представим правую и левую части уравнения в виде степени с основанием ,

Приравняем показатели степеней: – 3 (– 3+ х) = 9, 9 – 3х = …, – 3х = 0, х = ...

Ответ: 0.

Пример 2.

Решите уравнения: а)   б) в) 2^х+1 + 2^х-1 + 2^х = 28.

а) Решение:

Ответ: 1.

б) Решение:

Ответ: 4

в) Решение:

2^х+1 + 2^х-1 + 2^х = 28, 2^х-1 ∙ (2² + 1 + 2) = 28, 2^х-1∙7 = 28, 2^х-1 = 4, 2^х-1 = 2², х – 1 = 2, х = ...

Ответ: 3.

Пример 3.

Решите уравнения: а) 49^x 8∙7^x + 7 = 0, б) 9^х – 8∙3^х – 9 = 0, в) 8∙4^х – 6∙2^х + 1 = 0.

а) Решение:

Пусть у получим уравнение относительно у: у² – 8у + 7 = 0,

D = (– 8)² 4 1 7= 64 – 28 = …, у₁= (8 + 6) : 2 = …, у₂ = (8 – 6) : 2 = ... Получим, что и , отсюда х₁ = …, х₂ = ... Ответ: х₁ = 1, х₂ = 0.

б) Решение:

9^х – 8∙3^х – 9 = 0, (3^х)² – 8∙3^х -9 = 0, Пусть 3^х = t, где t 0, тогда t² – 8t – 9 = 0,

D = (–8)² 4 1 (–9) = 64 + 36 = …, t ₁= (8 + 10) : 2 = …, t ₂ = (8 – 10) : 2 = ... . t₁ = 9, t₂ = – 1, Возвращаемся к замене: 3^х = 9, х = …, 3^х = – 1, корней нет.

Ответ: 2.

в) Решение:

8∙4^х – 6∙2^х + 1 = 0, 8∙(2^х)² – 6∙2^х + 1 = 0, Обозначим 2^х = t, где t 0, тогда 8 t² – 6t + 1 = 0, D = (–6)² 4 1 8= 36 – 32 = …, t₁= (6 + 2) : 16 = …, t₂ = (6 – 2) : 16 = ... t₁ = , t_{2 =} Возвращаемся к замене: 2^х = , х ₁= …, 2^х = , х ₂= ...

Ответ: – 1; – 2.

2) Практический этап.

1. Решите уравнения: а) , б) .

2. Решите уравнения: а)   б) 3^х+1 + 3^х-1 + 3^х = 117.

3. Решите уравнения: а) 25^x 6∙5^x + 5 = 0, б) 16^х – 15∙4^х – 16 = 0.

3) Дополнительные задания^*

1. Решить систему уравнений

2. Решить систему уравнений