Показательные уравнения

Решение показательных уравнений .

Старкова Людмила Яковлевна

Северск 20 13

0, a  1 равносильно уравнению f ( x ) = g ( x ) " width="640"

Показательными принято называть уравнения, в которых неизвестное входит только в показатели степеней с постоянными основаниями

• Все показательные уравнения сводятся к простейшим показательным уравнениям или уравнениям с одинаковыми основаниями в обеих частях, или с 1 в правой части уравнения. В последнем случае нет необходимости представлять 1 как степень с соответствующим основанием и нулевым показателем. Решения стандартны, а значит, не требуют воспроизведения теоретических фактов – так, например, можно не ссылаться на свойство монотонности, из которого следует обратимость показательной функции, позволяющая утверждать единственность корня уравнения.

• а f ( x ) = а g ( x ) где а 0, a  1 равносильно уравнению f ( x ) = g ( x )

0 a  1 , равносильно уравнению f ( x ) = g ( x ) полученные знания в нетиповых ситуациях т.е. решать нетиповые учебные задачи разрешается пользоваться справочными материалами Преобразовывать усвоенные алгоритмы в соответствии с заданной нетиповой учебной ситуацией. Выполнять несложные преобразования выражений применяя ограниченный набор формул связанных со свойствами степеней решать нетиповые задачи с неоднократным применением изученного математического аппарата . 3 " width="640"

Уровни

Уровень С

Уровень В

Уровень А

• Уметь применять

• Решать простейшие

показательные

уравнения вида

а f ( x ) = а g ( x ) где

а 0 a  1 ,

равносильно уравнению

f ( x ) = g ( x )

полученные знания

в нетиповых ситуациях

т.е. решать нетиповые

учебные задачи

разрешается пользоваться

справочными материалами

• Преобразовывать

усвоенные алгоритмы

в соответствии с заданной

нетиповой учебной

ситуацией.

• Выполнять несложные

преобразования выражений

применяя ограниченный набор

формул связанных со

свойствами степеней

• решать нетиповые задачи

с неоднократным применением

изученного математического

аппарата .

3

0 ) Корень n -й степени . Арифметическим корнем n –ой степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число х , n -я степень которого равна а : 3 " width="640"

Справочный материал

Свойства корней

(а  0, b0 )

• Корень n -й степени .
• Арифметическим корнем n –ой степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число х , n -я степень которого равна а :

3

Уровень А

Приведение всех частей уравнения к одному общему основанию

• b )
• b)
• b)
• b)

• а ) 2 2 х –4 = 64
• а ) 5 3 х –2 = 5 10–х
• а ) 2 - х +3 = 4
• а ) 9  81 1 – 2 x = 27 2 x
• а ) 2 4 х +3 = 4 -2

• b)

ответ

3

3

Вынесение общего множителя за скобки

Приведение к квадратному уравнению

• 3 2х + 4  3 х - 5 = 0
• 4 x – 1 - 3  2 x – 4 = 0
• 4 2 x + 2 + 4 x + 1 – 1 =0
• 9 x - 3 x + 1 = 5 6

• 5 х+ 1 +5 х +5 х – 1 = 31

• 7 x +2 - 14  7 x = 5
• 3 x + 2 -5  3 x = 36

ответ

3

• 9 х + 6 х = 2  4 х
• 4  2 2х – 6 х = 18  3 2х
• 32 х + 3  3 3 х +1  625 х +2 = 600 х +7
• 2 х+2 – 2 х+3 +5 х-2 = 5 х+1 +2 х+4
• 2 х-1 = 8 х-2 - 4 х-2

ответ

3

0. Ответ: х   Пример 4 х = 5 Решение: x = log 4 5 Ответ: log 4 5 Пример 27 х = 9 Решение: представим 27 как 3 3 , а 9 как 3 2 получим уравнение 3 3 х = 3 2  3 х = 2  Ответ: 3 " width="640"

Уровень А

Приведение к одному основанию

• Пример

Решение: Перепишем его в виде

Корнями этого уравнения являются такие числа x , для которых х 2 – 2 х – 1 = 2

Приходим к квадратному уравнению х 2 – 2 х – 3 = 0 , корни которого, числа 3 и –1.

Ответ : 3; -1

• Пример

Решение: используем формулу а х  b x = ( ab ) x   x = 3. Ответ: 3

• Пример 3 х = – 4

Решение: Решений нет т. к. 3 х 0.

Ответ: х  

• Пример 4 х = 5

Решение: x = log 4 5 Ответ: log 4 5

• Пример 27 х = 9

Решение: представим 27 как 3 3 , а 9 как 3 2 получим уравнение

3 3 х = 3 2  3 х = 2  Ответ:

3

Приведение к квадратному уравнению

• Пример 7 2 х – 8•7 х + 7 =0

Решение : Пусть 7 х = у , тогда у 2 – 8 у + 7=0 у 1 = 1; у 2 = 7; 7 х =1; х 1 = 0; 7 х = 7; х 2 = 1 Ответ:0;1

3

• Вынесение общего множителя за скобки.

• Пример 3 х +2 – 2•3 х = 63

Решение : В левой части равенства вынесем за скобки 3 в наименьшей из степеней – 3 x , 3 х +2 – 2∙3 х = 63;  3 х ·(32–2) = 63;  3 х ·7 = 63;  3 х = 32;  х = 2

Ответ: 2

• Пример 5 2 x + 1 + 5 2 x + 5 2 x – 1 = 31.

выносим получим 5 2 х – 1 (5 2 + 5 + 1) = 31  5 2 х – 1  31 = 31  5 2 х -1 = 1  2 х – 1 = 0  х =

Ответ:

3

3

Для самостоятельного решения

А. Г. Мордкович Задачник 10-11 кл. стр. 134

Обязательный минимум:

№ 40.1 (а, г), 40.2 (б, г) 40.3 (б, в), 40.5 (а, б)

Средней сложности

С № 40.6 по № 40.9 под буквами (а и б)

40.13(а, б) 40.14 (а, б)

Повышенной сложности

С № 40.18 до 40.27 по собственному выбору.

3

Уровень А

Уровень С

Уровень В

• 5
• 3
• 1

3

Литература

• Ш. А. Алимов. Ю М. Колягин Алгебра и начала анализа 10 – 11кл М., просвещение 200 6 г.
• Г. В. Дорофеев, Г. К. Муравин, е. А. Седова сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике (курс А ) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. Дрофа , 200 4 г
• А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала анализа 10 – 11кл в 2-х частях М., Мнемозина 2009 г.

ЗАТО Северск 2007