Поле комплексных чисел. Геометрическое представление комплексного числа

Поле комплексных чисел. Геометрическое представление комплексного числа Учитель: Горчева К.А.

Определение

Полем комплексных чисел называется минимальное поле, содержащее в качестве подполя поле действительных чисел, и в котором содержится элемент, квадрат которого равен . Это поле обозначают буквой C .

Символ вида , где и ̶ действительные числа, а ̶ мнимая единица, называется алгебраической формой комплексного числа с действительной частью и мнимой частью .

Сложение и умножение в множестве C комплексных чисел осуществляется по правилам:

Для комплексного числа комплексное число называется сопряженным и обозначается .

При делении комплексных чисел делимое и делитель умножаются на число, сопряженной делителю:

Тригонометрическая форма комплексных чисел

у

М(a,b)

b



0

х

a

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

1. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются:

2. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются:

3. При возведении в степень – используют формулу Муавра .

Показательная форма комплексных чисел

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой, которая носит название формулы Эйлера

Пусть комплексное число z в тригонометрической форме имеет вид

z = r(). На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате

Эта запись называется показательной формой комплексного числа .

Геометрическое представление комплексного числа

Комплексное число  a+ bi  представлено точкой M  с абсциссой а и ординатой b . Эта система координат называется  комплексной плоскостью .

y - мнимая ось

М( a,b )

b

x - действительная ось

a

0

z=a+bi

Модуль комплексного числа

• Модулем комплексного числа называется длина вектора :

у-мнимая ось

М(a,b)

b

0

х-действительная ось

a

Аргумент комплексного числа

• Аргументом комплексного числа называется угол  , который образует вектор с положительным направлением оси абсцисс.  =arg z

у-мнимая ось

М(a,b)

b



х-действительная ось

0

a

Примеры

Записать в тригонометрической форме число:

Найти модуль и аргумент комплексного числа:

у

1





0

х

Спасибо за внимание!