Полная вероятность. Формула Байеса

Формула полной вероятности

Требуется вычислить вероятность события, которое может произойти с одним из несовместных событий, образующих полную группу.

Теорема (формула полной вероятности)

• Пусть события В 1 ,В 2 ,…,В n образуют полную группу событий и при наступлении каждого из них, например В i , событие А может наступить с некоторой условной вероятностью Р(А/В i ), тогда вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятности каждого события из полной группы на соответствующую условную вероятность события А.

Р(А)=Р(В 1 )Р(А/В 1 )+Р(В 2 )Р(А/В 2 )+…+Р(В n ) Р(А/В n )

Пример:

Задача 1.

На трех станках различной марки изготавливается определенная деталь. Производительность первого станка за смену 40 деталей, второго – 35, третьего – 25. Установлено, что 2%,3% и 5% продукции этих станков соответственно имеют скрытые дефекты. В конце смены взята одна деталь. Какова вероятность, что она имеет дефект?

А – деталь имеет дефект;

В 1 – деталь изготовлена на первом станке;

В 2 – деталь изготовлена на втором станке;

В 3 – деталь изготовлена на третьем станке.

Р(А)=Р(В 1 )Р(А/В 1 )+Р(В 2 )Р(А/В 2 )+Р(В 3 )Р(А/В 3 )

Р(А/В 1 )=

• Р(В 1 )=
• Р(В 2 )= Р(А/В 2 )=
• Р(В 3 )= Р(А/В 3 )=

Р(А)=

Задача 2.

Была проведена контрольная работа в трех группах. В первой группе, где 30 студентов, оказалось 8 работ, выполненных на «5», во торой, где 25 студентов – 6 работ на «5», в третьей, где 27 студентов – 9 работ на «5». Найти вероятность того, что взятая случайно работа выполнена на «5».

Задача 3.

На склад поступили детали с трех станков. На первом изготовлено 40% всех деталей, на втором – 35%, на третьем – 25%. Причем на первом 90% деталей 1-го сорта, на втором – 80%, на третьем – 70%. Какова вероятность, что взятая наугад деталь не 1-го сорта?

Домашнее задание:

Формула Байеса.

При выводе формулы полной вероятности предполагается, что событие А, вероятность которого следовало найти, произойдет с одним из событий В i , образующих полную группу, причем вероятности событий В i были известны.

Пусть событие А уже наступило. Как изменятся при этом условии вероятности событий В i ?

Формула Байеса

Так как событие А и В i совместны, то по теореме умножения:

Задача 4.

Электронный прибор содержит две микросхемы. Вероятность выхода из строя первой в течении достаточно длительного времени – 0,2, второй – 0,1. Известно, что прибор вышел из строя. Какова вероятность, что вышла из строя 1-я микросхема?

А – из строя вышел прибор;

В 1 – не вышли из строя обе микросхемы;

В 2 – отказала первая;

В 3 – отказала вторая;

В 4 – отказали обе.

Р(В 1 )=0,8*0,9=0,72 Р(А/В 1 )=0

Р(В 2 )=0,2*0,9=0,18 Р(А/В 2 )=1

Р(В 3 )=0,8*0,1=0,08 Р(А/В 3 )=1

Р(В 4 )=0,2*0,1=0,02 Р(А/В 4 )=1

Задачи 5,6.

• В первом ящике 8 белых и 6 черных шаров, а во втором – 10 белых и 4 черных. Наугад выбирают ящик и шар. Известно, что вынутый шар – черный. Какова вероятность, что он взят из первого ящика?
• В урну, содержащую 3 шара, положили белый шар, после чего вынули один. Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым, если все возможные предположения о цвете уже имеющихся шаров равновозможны?

Задача 7, 8.

• Вероятность попадания в цель спортсмена – 0,8. Спортсмен произвел 5 выстрелов. Найти вероятность, что он попадет более трех раз.
• Из 1000 ламп 380 принадлежат к 1 партии, 270 – ко второй партии, остальные к третьей. В первой партии 4% брака, во второй - 3%, в третьей – 6%. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная окажется из второй партии.

Домашнее задание:

Задача 1. В группе спортсменов лыжников в 2 раза больше, чем бегунов, а бегунов в 3 раза больше, чем велосипедистов. Вероятность выполнить норму для лыжника 0,9, для бегуна 0,75, для велосипедиста - 0,8. Найти вероятность того, что лыжник выполнит норму.

Задача 2. В двух урнах находится соответственно 4 и 5 белых и 6 и 3 чёрных шаров. Из урны наудачу извлекается один шар. Какова вероятность, что это будет белый шар из второй урны?