Полная вероятность. Формулы Байеса.

Леция №4.

Формулы Байеса.

Формулы Байеса является следствием формулы полной вероятности и применяется в случае, когда событие А, которое может произойти только после того, как произойдет одно из независимых событий (гипотез) Н₁, Н₂, Н₃, …, Н_n, образующих полную группу событий, уже произошло и необходимо произвести количественную переоценку вероятностей гипотез Н₁, Н₂, Н₃, …, Н_n, то есть найти условные вероятности гипотез Р_А(Н₁), Р_А(Н₂), Р_А(Н₃),…, Р_А(Н_n).

Эти вероятности находятся по следующим формулам, которые называются формулами Байеса:

где – формула полной вероятности.

Пример 1.

С первого станка-автомата поступают 30% деталей, со второго – 25%, с третьего – 45%. Бракованных деталей поступает с первого станка 2%, со второго – 1%, с третьего – 3%. Какова вероятность того, что

а) выбранная наудачу деталь бракованная.

б) выбранная наудачу бракованная деталь изготовлена на первом станке-автомате.

Решение.

а) Решена в Лекции №3. Пример 4.

б) по формуле Байеса найдем искомую вероятность:

Независимые испытания.

Схема независимых испытаний состоит в следующем: проводится n последовательных независимых экспериментов в одинаковых условиях, в каждом из которых рассматривается одно и то же событие А, которое может произойти или не произойти в результате эксперимента. Вероятность p наступления события А в каждом испытании одна и та же. Вероятность противоположного события обозначим q она равна q = p – 1.

Формула Бернулли.

Вероятность того, что событие А наступит k раз в n независимых испытаниях находится по формуле Бернулли:

Число наступления события А называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления события А любое другое количество раз, обозначают p₀. Наивероятнейшее число наступлений события А в n испытаниях заключено между числами np – q и np + q: np – q ≤ p₀ ≤ np + q.

Пример 2.

Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 1/3. Производится шесть выстрелов.

a) Какова вероятность двух попаданий в цель?

б) Какова вероятность не менее двух попаданий в цель?

в) Каково наивероятнейшее число попаданий?

Решение.

Пусть А={попадание в цель при одном выстреле}.

Тогда p = P(A) = 1/3, q = P( ) = 1 – 1/3 = 2/3.

a) Число выстрелов n = 6 . Естественно предположить, что выстрелы не зависят друг от друга. Тогда, полагая k = 2 , по формуле Бернулли находим вероятность двух попаданий из шести:

б) Событие «не менее двух попаданий» противоположно событию «один раз попал или ни разу не попал», следовательно, искомая вероятность равна

в) Наивероятнейшее число попаданий в цель np – q ≤ p₀ ≤ np + q

Следовательно, р₀ = 2.

Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Если число испытаний n велико (n ≥ 20), то непосредственное вычисление вероятностей по формуле Бернулли технически сложно. Для этого существуют приближенные, так называемые асимптотические формулы.

Теорема (Муавра-Лапласа): Если вероятность p наступления события А в каждом испытании одинакова, то вероятность того, что событие А наступит ровно k раз в n независимых испытаниях приближенно равна

Для упрощения расчетов с использованием данной формулы, составлена таблица значений функции φ(x) (приложение A). Пользуясь этой таблицей, необходимо помнить следующие свойства функции φ(x).

1) Функция φ(x) является чётной, т.е. φ(–x) = φ(x).

2) Функция φ(x) – монотонно убывающая при положительных значениях х, причем при
х → ∞ φ(x)→0.

Пример 3.

Найти вероятность того, что при 150 выстрелах мишень будет поражена ровно 70 раз, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4.

Решение.

Пусть А={попадание в цель при одном выстреле}. Р(А) = 0,4, q = 1 – p = 0,6. Всего производится n = 150 независимых испытаний, в которых событие А должно произойти ровно
k = 70 раз. Имеем:

По таблице значений функции φ(x) (приложение A) найдем φ(1,67)≈0,0989

Тогда: