Понятие числовой последовательности

Тема: «Понятие числовой последовательности»

Определение: Числовой последовательностью называется множество чисел, элементы которого можно пронумеровать: а₁, а₂, а₃, а₄, а₅, ..., а_n, …,

В этом случае говорят, что числа образуют последовательность, которую можно рассматривать как функцию от натурального аргумента (т. е. функцию, определённую на множестве натуральных чисел).

Элементы, из которых составлена последовательность, называются ее членами. Каждый член последовательности пронумерован (при помощи нижнего индекса) и имеет, по крайней мере, один предыдущий член (за исключением первого члена а₁ последовательности) и один последующий (за исключением последнего элемента в случае конечной последовательности).

Для описания последовательности используются обозначения

{а_n} или (а_n), где n = 1, 2, .... где a_n есть элемент или член этой последовательности.

а_п-1 -предыдущий член последовательности,

а_{п+1 -} последующий член последовательности

Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности:

1, 2, 3, 4, 5,… - последовательность натуральных чисел;

2, 4, 6, 8, 10, … - последовательность четных чисел;

1, 3, 5, 7, 9, … - последовательность нечетных чисел;

1, 4, 9, 16, 25, …- последовательность квадратов натуральных чисел;

2, 3, 5, 7, 11, …- последовательность простых чисел;

Числовые последовательности могут быть конечными и бесконечными. Числовая последовательность называется конечной, если число её членов ограничено (конечно). Примером могут служить такие последовательности: последовательность однозначных натуральных чисел, последовательность двузначных натуральных чисел и т.д. Если число членов последовательности неограниченно (бесконечно), то последовательность называется бесконечной числовой последовательностью. Примеры таких последовательности мы уже приводили ранее.

Числовая последовательность считается заданной, если указан способ, позволяющий найти член последовательности любого номера.

числовые последовательности рассматриваются как функции, определенные на множестве натуральных чисел. Поэтому, способы задания числовых последовательностей связаны со способами задания функций. А именно: аналитический (формулой), графический, табличный, описание (словесный). Но помимо перечисленных способов, для задания числовой последовательности существует ещё один способ: рекуррентный. Рассмотрим каждый из указанных способов.

Словесный: Последовательность задана с помощью описания, дающего возможность для любого n указать соответствующий член последовательности.

Табличный: Например, таблица квадратов на форзаце учебника.

Графический: Графиком последовательности как функции, заданной на множестве натуральных чисел, являются отдельные, изолированные точки координатной плоскости

Последовательность у_n = n² можно рассматривать как функцию у = х², где х Є N.

Аналитический: Последовательность задана с помощью формулы n-го членапоследовательности, по которой для любого n можно вычислить соответствующий член последовательности.

Рекуррентный: Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от латинского слова recurro – возвращаться). Например,  y_n = y_n-1 + 7. Достаточно для составления формулы, по которой можем записать данную числовую последовательность указать первый член последовательности или несколько первых членов.

Вывод: для рекуррентного способа задания последовательности необходимо:

1. знать один или два первых члена последовательности;

2. указать правило для вычисления следующих членов последовательности

3. Числовая последовательность - частный случай числовой функции, поэтому некоторые свойства функций можно перенести и на числовые последовательности. Основное свойство последовательностей – монотонность.

4. 1. Последовательность называется возрастающей, если для любого nЄN  выполняется неравенство a_na_n+1.

5. 2. Последовательность называется убывающей, если для любого nЄN выполняется неравенство a_na_n+1. 

6. Возрастающие и убывающей числовые последовательности называются монотонными. Однако не все последовательности являются монотонными. Например, последовательность

7. -1; 1; -1; 1; -1; 1; …; (-1) ⁿ; … не является монотонной, а является знакочередующейся.

8. Числовые последовательности обладают свойством ограниченности.

9. 3. Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число MЄR, что a_n ≤ M. При этом число M называется верхней границей последовательности.

10. 4. Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число mЄR, что a_n ≥ m. Число m называется нижней границей последовательности.

11. Пример:

12. 1. Последовательность, заданная формулой a_n= n; (1, 2, 3,..., n, ...) ограничена снизу числом 1, но не ограничена сверху.

13. 2. Последовательность 1; ½; 1/3; ¼; …; 1/n; … ограничена сверху числом 1, но не ограничена снизу.

14. 3. Последовательность, заданная формулой an=(−1)ⁿn; (−1, 2, −3, 4,..., (−1)ⁿn, ...) не ограничена ни сверху, ни снизу. Что говорит о том, что не все последовательности могут не обладать свойством ограниченности.

15. Последовательность называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху, и снизу.

16. Пример: Последовательность: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4141; …; ограничена сверху числом 2, а снизу – числом 1. Тогда эта последовательность будет являться примером ограниченной последовательности.