Понятие многогранника

Геометрия 10 класс

План открытого урока

Тема урока: «Понятие многогранника» (1 слайд)

Цель урока: 1. Познакомить учащихся с различными видами многогранников.

2. Показать связь геометрии и природы (2 слайд)

Обучающая:

1. Знакомство с историей возникновения и развития теории многогранников

2. Понятие – тела Платона (изучение видов многогранников)

3. Формирование практических навыков по определению основных свойств правильных многогранников, используя компьютер.

Развивающая:

1. Развитие практических навыков учащихся по определению основных свойств правильных многогранников.

2. Развитие пространственных представлений учащихся о многогранниках.

3. Развитие стремлений к активной познавательной деятельности

Воспитательная:

1. Прививать чувство красоты к окружающему миру.

2. Воспитывать культуру учащихся.

В ходе урока:

Учащиеся должны знать:

1. Определение правильных многогранников.

2. Виды правильных многогранников.

3. Знать свойства правильных многогранников.

4. Знать формулу Эйлера.

Учащиеся должны уметь:

1. Различать пять видов правильных многогранников.

2. Пользоваться формулой Эйлера для определения свойств правильных многогранников.

Тип урока:

Изучение нового материала.

Вид урока:

Объяснительно - демонстрационный с элементами практикума.

Оборудование:

1. Проектор и экран.

2. Компьютер с OC Windows 7.

3. ПО – MS Office 2003.

4. Презентация к уроку.

5 Раздаточный материал: модели многогранников, таблицы для практической работы.

Ход урока:

1. Вводная часть

1. Организационный момент

2. Эпиграф урока: (демонстрация 3 и 4 слайдов презентации)

«Математика есть прообраз красоты мира»

Иоганн Кеплер

3) Фронтальное повторение:( ответить на вопросы)(слайд 5)

а) Сумма углов треугольников равна… (180⁰)

б) Свойства углов равнобедренного треугольника при основании (в равнобедренном треугольники углы при основании равны)

в)Острые углы прямоугольного равнобедренного треугольника равны

( 45⁰)

г) Свойство катета, лежащего против угла в 30⁰ (катет лежащий против угла в 30⁰ , равен половине гипотенузы)

д)Что называется углом между прямой и плоскостью? (Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и её проекцией на эту плоскость)

(слайд 6) Какие многогранники мы уже знает? (Прямоугольный параллелепипед и тетраэдр)

(слайд 7) Ввод определения многогранника: поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, называют многогранной поверхностью или многогранником.

(слайд 8) На примере модели прямоугольного параллелепипеда дать определение грани многогранника. (Многоугольники, из которых состоит многогранник, называются гранями многогранника)

(слайд 9) Дать определение ребра, вершины, диагонали грани и диагонали многогранника.

П. Основная часть

1. История возникновения и развития теории многогранников

В школьном курсе геометрии мы будем изучать свойства простейших многогранников: параллелепипед, куб, тетраэдр, призма, пирамида. А сегодня наш урок посвящен увлекательному разделу геометрии – теории многогранников. Чем привлекательны многогранники? Многогранники представляют собой простейшие тела в пространстве, подобно тому, как многоугольники – простейшие фигуры на плоскости. Многогранные формы мы видим ежедневно: спичечный коробок, книга, комната, многоэтажные дома, а также - граненый карандаш, гайка и т.п.

Многогранники обладают богатой историей, которая связана с такими знаменитыми учеными древности, как Архимед, Евклид, Пифагор(слайд10.

С древнейших времен наши представления о красоте связаны с понятием симметрия. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам – удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.

Многогранники делятся на два типа: выпуклые и невыпуклые.

К выпуклым относятся: Тела Платона и тела Архимеда. К невыпуклым - тела Кеплера - Пуансо. (слайд 11)

Определение выпуклого многогранника: Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. (слайд 12)

Определение невыпуклого многогранника: невыпуклый многогранник- многоугольник расположенный по разные стороны от плоскости одной из его граней.(слайд 13)

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Правильными многогранниками занимались Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство форм и гармония этих фигур. Пифагорийцы считали многогранники божественными фигурами и использовали их в своих философских сочинениях.

2. Так что же такое правильные многогранники?

Определение: Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон, а в каждой вершине сходится одно и то же число ребер (записать определение в тетрадь).(слайд 14)

3. Виды правильных многогранников.(слайд 15)

Существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр ( 16 слайд).

Тетраэдр: Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника - равносторонние треугольники. Так как внутренний угол равностороннего треугольника равен 60⁰, три других угла дадут в развертке 180⁰. Если теперь склеить развертку в многогранный угол, получится тетраэдр( многогранник, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани). (слайд 17)

Октаэдр: Если добавить к развертке вершин еще один треугольник, в сумме получится 240⁰. Это развертка вершины октаэдра. Октаэдр - восьмигранник, тело, ограниченное восемью правильными треугольниками.

(слайд 18)

Икосаэдр: добавление пятого треугольника даст угол 300⁰ - мы получим развертку вершины икосаэдра. Икосаэдр - двадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью равносторонними треугольниками.(слайд 19)

Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равна 360⁰- эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.( слайд 20)

Куб или правильный гексаэдр: теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из трех квадратных граней имеет угол 3·90⁰=270⁰ - получается вершина куба, который также называется гексаэдром. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360⁰ - этой развертке уже не соответствует ни какой многогранник. Куб или правильный гексаэдр - правильная четырехугольная призма с равными ребрами ограниченная шестью квадратами. (слайд 21)

Додекаэдр: три пятиугольные грани дают угол развертки 3· 108⁰ =324⁰ вершина додекаэдра. Если добавить еще один пятиугольник, то получим больше 360⁰- поэтому останавливаемся. Додекаэдр - двенадцатигранник, тело, ограниченное двенадцатью правильными пятиугольниками.(слайд 22)

Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3· 120⁰ = 360⁰ , поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань будет иметь еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит правильных выпуклых многогранников с гранями имеющими шесть и более углов не существует. (слайд 23)

Сделаем ввод: Мы убедились, что существует пять правильных многогранников- тетраэдр, октаэдр, икосаэдр с треугольными гранями, куб(гексаэдр) с квадратными гранями, додекаэдр с пятиугольными гранями. Названия этих многогранников пришли с Древней Греции, и в них указывается число граней.

Тетраэдр имеет 4 грани, так как в переводе с греческого слово «тетра» означает четыре, «эдрон» - грань, гексаэдр (куб) имеет 6 граней, «гекса» - число 6, октаэдр – восьмигранник, «окто» - число 8, додекаэдр – двенадцатигранник, «додека» - число 12, икосаэдр имеет 20 граней, «икоси» - число 20. (слайд 24)

4. Подсчитайте количество вершин, граней и ребер у правильных многогранников. (на столах у учащихся пять моделей правильных многогранников)

(слайд 25)

(слайд 26)Напоминание видов и названий правильных многогранников.

(слайд 27) Правило Эйлера ( характеристика) правильных многогранников. Пусть В - число вершин выпуклого многогранника, Р - число его рёбер и Г - число граней. Тогда верно равенство В+Г-Р=2. По приведенной формуле учащиеся заполняют последний столбец таблицы. Что можно сказать о полученных результатах? Во всех строчках он один и тот же.

В + Г - Р = 2 . Записать в тетрадях.

Формула Эйлера: для любого правильного многогранника справедлива формула:

В + Г - Р = 2

(слайд 28)После работы с моделями учащиеся заполняют столбцы в таблице.

5. (слайд 29) В идеалистической картине мира, созданной Платоном, четыре многогранника олицетворяли четыре стихии: тетраэдр – огонь, гексаэдр – землю, икосаэдр – воду, октаэдр – воздух. Пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание, его стали называть «пятая сущность».(слайд 30)

Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана) – (демонстрация 31 слайда). Придумать же правильный тетраэдр, куб, октаэдр было нетрудно, так как эти формы имеют многие природные кристаллы, например: октаэдр – монокристалл алюмокалиевых квасцов. Шестой элемент периодической системы Менделеева – углерод - характеризуется структурой октаэдра. Оксид меди (красная медная руда) также образует кристаллы в форме октаэдров

Кристаллы алмаза обычно имеют форму октаэдра, реже – форму кубов или тетраэдров (демонстрация 32 слайда).

Исторически первой формой огранки , появившейся в середине XIV века, стал октаэдр. Алмаз «Шах» почти сохранил свой естественный вид. Он имеет форму вытянутого кристалла – октаэдра и массу 88,7 карат

( демонстрация 33слайда).

Интересна судьба этого алмаза. В начале ХIХ века «Шах» оказался в Персии. В 1829 году в ходе беспорядков в Тегеране был убит русский посол, автор комедии «Горе от ума» А.С.Грибоедов, и персидское правительство, для разрешения конфликта, подарило этот алмаз Николаю I.

(слайд 34,35) Тела Архимеда

Архимедовыми телами называются полуправильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многоугольники нескольких типов.

(слайд 36) Тела Кеплера - Пуансо. Среди невыпуклых однородных многогранников существуют аналоги платоновых тел - четыре правильных невыпуклых однородных многогранника или тела Кеплера - Пуансо.

Как следует из их названия, тела Кеплера-Пуансо - это невыпуклые однородные многогранники, все грани которых - одинаковые правильные многоугольники, и все многогранные углы которых равны. Грани при этом могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми.

(слайд 37) виды тел Кеплера - Пуансо.

5. Теория многогранников как современный раздел математики.

Теория многогранников в современном мире тесно связана с технологией и имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел, прикладной математики. Форму правильных многогранников имеют многие архитектурные сооружения древности и современности (демонстрация слайдов с 38 по 43).

(слайд 44- 45) Многогранники в искусстве.

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией, Альбрехт Дюрер (1471- 1528) , в известной гравюре ''Меланхолия '‘ на переднем плане изобразил додекаэдр.

Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил

И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

(слайд 46-48) Многогранники в природе

Пчёлы строили свои шестиугольные соты задолго до появления человека.

Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их мнениях относительно формы вирусов.

Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр

(слайд 49) А теперь проверьте свои знания по изученному материалу

(слайд 50) Тестирование

1. Поверхность, составленная из четырех треугольников

2. Поверхность, составленная из многоугольников и ограничива- ющая некоторое геометрическое тело

3.Многоугольник, из которого составлен многогранник

4. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани

5. Этот правильный многогранник составлен из 8-ми равносторонних треугольников

6. Составлен из 6-ти правильных четырехугольников

7. Стихия тетраэдра

8. Многоугольник, подобный пчелиным сотам

Ш. Заключительная часть урока:

1)Подведем итог решая кроссворд

2) выставление оценок

3) домашнее задание:

Найдите самостоятельно развертки правильных многогранников и сделайте их модели.

8