Понятие многогранника

Понятие многогранника

Презентацию подготовила учитель математики высшей категории Щур Л.М.

10 класс

• Цель урока
• Познакомить учащихся с различными видами многогранников.
• Показать связь геометрии и природы.

• План урока
• Организационный момент.
• Усвоение нового материала (работа с презентацией и объяснение материала учителем)
• Закрепление новых знаний
• Решение задач.
• Подведение итога урока.
• Домашнее задание.

Эпиграф урока

«Математика есть прообраз красоты мира»

Иоганн Кеплер

(Немецкий математик, астроном)

ПОВТОРЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА

1. Сумма углов треугольников равна…

180 градусов

2. Свойства углов равнобедренного треугольника при основании.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

3 . Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны …

45 градусам

Катет , лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы

4. Свойство катета, лежащего против угла в 30 0

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

5. Что называется углом между прямой и плоскостью?

ПОВТОРЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

ТЕТРАЭДР

ПОНЯТИЕ МНОГОГРАННИКА

поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, называют многогранной поверхностью или многогранником.

Определение:

Многоугольники, из которых состоит многогранник, называются гранями многогранника.

Стороны граней называют ребрами , а концы ребер вершинами многогранника.

Отрезок, соединяющий противоположные вершины грани называется диагональю грани многогранника, а отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани называется диагональю многогранника.

Великие математики древности

Архимед Евклид Пифагор

Многогранники

выпуклые

невыпуклые

Тела

Архимеда

Тела

Платона

Тела

Кеплера-

Пуансо

Многогранник называется выпуклым , если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Невыпуклый многогранник – многогранник, расположенный по разные стороны от плоскости одной из его граней.

Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон, 6 класс (часть 3 ). № 7 42 ( а)

13

Правильными многогранниками

называют выпуклые многогранники, все грани и все углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники .

13

Правильные многогранники

Сколько же их существует?

Тетраэдр

Октаэдр

Гексаэдр

Икосаэдр

Додекаэдр

Тетраэдр

• Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника - равносторонние треугольники. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла дадут в развертке 180°. Если теперь склеить развертку в многогранный угол, получится тетраэдр - многогранник, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани.

Октаэдр -

• Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра . Октаэдр - восьмигранник, тело, ограниченное восемью правильными треугольниками.

Икосаэдр

• Добавление пятого треугольника даст угол 300° - мы получаем развертку вершины икосаэдра .
• Икосаэдр - двадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью равносторонними треугольниками

Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной 360° - эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.

Куб или правильный гексаэдр

Теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из трех квадратных граней имеет угол 3x90°=270° - получается вершина куба , который также называют гексаэдром . Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360° - этой развертке уже не соответствует никакой выпуклый многогранник.

Куб или правильный гексаэдр - правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами.

Додекаэдр -

Три пятиугольные грани дают угол развертки 3*108°=324 - вершина додекаэдра . Если добавить еще один пятиугольник, получим больше 360° - поэтому останавливаемся.

Додекаэдр - двенадцатигранник, тело, ограниченное двенадцатью правильными многоугольниками .

Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3*120°=360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует.

Сделаем вывод:

• Мы убедились, что существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр , октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:
• «эдра» - грань
• «тетра» - 4
• «гекса» - 6
• «окта» - 8
• «икоса» - 20
• «додека» - 12

Подсчитайте количество вершин, граней и ребер у правильных многогранников.

Правильный многогранник

Число

граней

Тетраэдр

вершин

Куб (гексаэдр)

Октаэдр

рёбер

Додекаэдр

Икосаэдр

Тетраэдр

Октаэдр

Гексаэдр

Икосаэдр

Додекаэдр

Формула Эйлера

В + Г – Р = 2

Эйлерова характеристика правильных многогранников . Пусть В - число вершин выпуклого многогранника, Р - число его рёбер и Г - число граней. Тогда верно равенство В+Г-Р=2

Правильный многогранник

Число

граней

Г

Тетраэдр

Куб

вершин

В

4

6

4

рёбер

Р

Октаэдр

6

8

В+Г-Р

8

Додекаэдр

6

2

12

Икосаэдр

12

2

12

20

20

2

30

12

2

30

2

• Правильные многогранники еще называют телами Платона
• Платон связал с этими телами формы атомов основных стихий природы.

тетраэдр

огонь

вода

икосаэдр

воздух

октаэдр

гексаэдр

земля

вселенная

   додекаэдр

Кристаллы красной медной руды

Природные кристаллы

Пирит

(сернистый колчедан)

Монокристалл алюмокалиевых квасцов

Виды алмазов

Кристаллы алмаза чаще всего имеют форму октаэдра, реже – форму кубов или тетраэдров

Исторически первой формой огранки , появившейся в XIV веке стал октаэдр.

Алмаз Шах - почти классический его вид.

Масса алмаза 88,7 карата

Тела Архимеда

Архимедовыми телами называются полуправильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многоугольники нескольких типов.

Тела

Архимеда

Тела

Кеплера - Пуансо

Среди невыпуклых однородных многогранников существуют аналоги платоновых тел - четыре правильных невыпуклых однородных многогранника или тела Кеплера - Пуансо.

Как следует из их названия, тела Кеплера-Пуансо - это невыпуклые однородные многогранники , все грани которых - одинаковые правильные многоугольники, и все многогранные углы которых равны. Грани при этом могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми.

Большой звездчатый

додекаэдр

Малый звездчатый

додекаэдр

Большой икосаэдр

Многогранники в архитектуре

Великая пирамида в Гизе.

Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес света.   Великая пирамида была построена как гробница фараона Хеопса.

Александрийский маяк .

    Маяк был построен на маленьком острове Фарос в Средиземном море, около берегов Александрии. Этот оживленный порт основал Александр Великий во время посещения Египта. Сооружение назвали по имени острова. На его строительство ушло 20 лет

Современные архитектурные сооружения в виде многогранников

Кирпичный многогранник швейцарских архитекторов Жака Герцога и Пьера де Мёрона

Современные возможности архитектурного дизайна

Купола американского архитектора Ричард Фуллера

Многогранники в искусстве

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией, Альбрехт Дюрер (1471- 1528) , в известной гравюре ''Меланхолия '‘ на переднем плане изобразил додекаэдр.

Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил

И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Многогранники в природе

Пчёлы

строили свои шестиугольные соты

задолго до появления человека.

Икосаэдр

оказался в центре

внимания биологов в их мнениях относительно формы вирусов .

Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр .

А теперь проверьте свои знания по изученному материалу

Тестирование.

1. Поверхность, составленная из четырех треугольников

А) ТЕТРАЭДР

B) ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

С) КВАДРАТ

D ) ШАР

2. Поверхность, составленная из многоугольников и ограничива- ющая некоторое геометрическое тело

А) МНОГОУГОЛЬНИК

B) МНОГОГРАННИК

С) ТРЕУГОЛЬНИК

D ) КВАДРАТ

3. Многоугольник, из которого составлен многогранник

А) СТОРОНА

B) РЕБРО

С) ГРАНЬ

D ) ВЕРШИНА

4. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани

А) ДИАГОНАЛЬ

B) МЕДИАНА

С) ВЫСОТА

D ) АПОФЕМА

5. Этот правильный многогранник составлен из 8-ми равносторонних треугольников

А) КВАДРАТ

B) ТЕТРАЭДР

С) ДОДЕКАЭДР

D ) ОКТАЭДР

6. Составлен из 6-ти правильных четырехугольников

А) КВАДРАТ

B) ТЕТРАЭДР

С) КУБ

D ) ПИРАМИДА

7. Стихия тетраэдра

А) ВОДА

B) ВОЗДУХ

С) ЗЕМЛЯ

D ) ОГОНЬ

8. Многоугольник, подобный пчелиным сотам

А) 8-МИ УГОЛЬНИК

B) 6-ТИ УГОЛЬНИК

С) 4-Х УГОЛЬНИК

D ) ТРЕУГОЛЬНИК

Проверь себя.

1. A

2. B

3. C

4. A

5 . D

6 . C

7 . D

8 . B

Подведение итога урока

6

в

е

р

ы

т

е

ч

1

2

с

2

к

и

н

ь

и

л

о

т

у

п

я

г

т

о

5

По горизонтали : 1. Количество сходящихся ребер у октаэдра. 2. Грань додекаэдра.

а

3. Боковая грань усеченной пирамиды.

4. Правильный многогранник.

По вертикали: 2 . Граница многогранника.

5 . Правильная треугольная пирамида.

6 . Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

в

т

е

я

и

ц

е

а

р

т

п

3

т

х

р

н

4

э

а

р

д

о

к

т

э

с

т

д

р

ь

о