"Последовательности"

Дата 06.03.2025

Класс 9 класс

Предмет Алгебра

Тема Последовательности

Номер урока 71

Тип урока: урок изучения новой темы

Цель урока: познакомить учащихся с понятием последовательности, способами задания последовательности. Выработать умения использовать индексные обозначения и находить n-й член последовательности по заданной формуле.

Задачи урока:

Личностные результаты:

• формирование умения сотрудничать со сверстниками в разных социальных ситуациях, умение не создавать конфликтов и находить выходы из спорных ситуаций.

Метапредметные результаты:

• регулятивные: планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей и условиями ее реализации;

• познавательные: формирование умений по использованию математических знаний для решения различных математических задач и оценки полученных результатов, по использованию доказательной математической речи при работе с информацией;

• коммуникативные: формирование умений совместно с другими обучающимися находить решение задачи и оценивать полученные результаты.

Предметные результаты:

• понимание сути понятий «числовая последовательность», «члены последовательности», «n-й член последовательности», умение определять n-й член последовательности, понимать и различать виды последовательностей и способы их задания, умение точно и грамотно выражать свои мысли, применяя математическую терминологию, развитие способностей обосновывать рассуждения.

Образовательные: формирование представления о последовательности, знаний о способах задания числовых последовательностей, умений находить члены последовательности по предложенной формуле, а также умений находить саму формулу, задающую последовательность.

Развивающие: развитие умений сравнивать и анализировать, обобщать информацию, делать выводы.

Воспитательные: воспитывать навыки самоконтроля, культуру общения, умение работать в коллективе; воспитывать такие качества характера, как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемной ситуации.

Ход урока:

1. Организационный момент.

1.Актуализация знаний (слайд 1)

Устная работа

Найдите значение выражения при а= - 2,5 и b=3.

1. Найдите значение выражения при =1; 3;10. При каких n имеет смысл это выражение?

2. Напишите формулу четных чисел; кратных 5; кратных 2 и 5.

1. Определение темы и цели урока

- Выполним задание и определим закономерности (Слайд 2 )

1,4,7,10,13...

2,6,18,54, 162...

10,19,37,73,145...

1,2,3,4,5,6,7,8.9

33, 31, 32, ...

4, -4, 4,- 4,...

- Да, это числа, записанные в определенном порядке.

Вопрос. Можно ли поставить другое число вместо числа 16 в случае 1? вместо числа 4 в случае 2?

Вопрос. Как вы понимаете слово «закономерность»?

Как стоят эти числа в рядах? (последовательно) Значит, они называются последовательностями. И так, тема нашего урока? (Последовательности) Запишем тему (слайд 4). Какую цель вы поставите себе на данном уроке? (изучить свойства числовых последовательностей и научиться применять их в ходе выполнения упражнений)

- В жизни какие события происходят последовательно? (Дни недели, названия месяцев, нумерация домов, и т.д.) (Слайд 5)

III. Изучение нового материала.

1.Слово учителя.

Числа, записанные в определённом порядке- числовая последовательность (слайд6)

(слайд 7 )

Числа образующие последовательность , называются членами последовательности и нумеруются.

а₁; а₂; а₃; а₄;…а_n; ... («а первое», «а второе», «а n-ое», …)

Последовательность а₁; а₂; а₃; а₄;…а_n; ... обозначают обычно (а_n)

- В последовательности 1;4; 7;10;13;… укажите а₁; а₃; а_{5. (слайд 8)}

- Переходим к следующему этапу исследования нужно изучить свойства последовательностей.

Последовательности бывают конечные и бесконечные, возрастающие и убывающие (слайд 9 )

Для того чтобы узнать любой член последовательности, необходимо знать, как задаются последовательности.

- Какими способами можно задать последовательности?

- Последовательности можно задать различными способами.

А) Описательный

Например, на четных местах 0, на нечетных – единица.

Б) Формулой n – ого члена последовательности

а_n =2 n, n – натуральное число. При n=1, а₁=2·1=2, при n=2, а₁=2·2=4, и т.д.

В) Название следующего способа задания последовательности – рекурретный – произошло от слова «recurro» - возвращаться. Рекуррентной называется формула, выражающая любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие.

Для некоторых последовательностей рассмотренных в начале урока, запишем рекуррентные формулы:

1,4,7,10,13... а₁=1, а_n+1= а_n+3

2,6,18,54, 162... а₁=2, а_n+1= а_n ·3

10,19,37,73,145... а₁=10, а_n+1= а_n ·2 – 1

Физкультминутка

1. Закрепление нового материала.

-Давайте, теперь определим как наши открытия помогут выполнить задания №560, №564, №565 (а) №569 (а), 567. В оценочных листах оцените себя, если есть затруднения, то пишите вопросы. (После каждого задания ответы проверяются по слайдам (19-22)

1) №560 (работа в парах)

Выпишите первые несколько членов последовательности натуральных чисел, кратных 3, взятых в порядке возрастания. Укажите ее первый, пятый, десятый, сотый и n-й члены.

Решение: 3; 6; 9; 12; … а₁ = 3, а₅ = 15, а₁₀ = 30, а₁₀₀ = 300, а_n = 3n

2) №564 взаимопроверка

Перечислите члены последовательности (х_n), которые расположены между: а) х₃₁ и х_35, г ) х_n-2 и x_n+2.

Решение: а) х₃₂, х₃₃, х₃₄; б) x_n-1, x_n, x_n+1.

3) №565 (а) (индивидуальная)

Найдите первые шесть членов последовательности, заданной формулой n- го члена: х_n = 2n – 1.

Решение: х₁ = 1, х₂ = 3, х₃ = 5, х₄ = 7, х₅ = 9, х₆ = 11.

4) №569 (а)

Выпишите первые пять членов последовательности (а_n), если а_{1 =} 1, а_n+1 = а_n+1.

Решение: 1, 2, 3, 4, 5.

№567 (для сильных учащихся)

Последовательность а_n задана формулой а_n=n²-n-20. Определите номера отрицательных членов и вычислите их.

Решение: а₁=-20, а₂=-18, а₃=-18, а₄=-8

IV. Рефлексия

- Что узнали нового? (последовательности)

- Как можно задать числовые последовательности? (словесно, формулой n- го члена, рекуррентным способом)

- Какие бывают последовательности? (конечные, бесконечные, возрастающие, убывающие)

- Где может пригодиться умение работать с последовательностями? (при дальнейшем изучении математики, при сдаче ОГЭ и в жизни)

- Какие трудности у вас возникли при решении задач?

- Проанализируйте свою работу на уроке.

Домашнее задание(Слайд). п. 24, № 562, 565 (в, д), 573(а). Для желающих

Решите задачу: В январе вам подарили пару новорожденных кроликов. Через два месяца у них рождается новая пара кроликов, в следующем месяце – еще одна пара и т.д. ежемесячно. С каждой новой парой кроликов происходит то же самое. Сколько пар кроликов будет у вас в декабре, если ни одна пара не погибнет?

Резерв.

Тестовая проверочная работа

1.Последовательность задана формулой a_n=5n+2 . Чему равен её третий член?

а) 3 б)17

в) 12 г) 22

2 . Выпишите 5 первых членов последовательности, заданной формулой a_n=n-3

а) -3,-2,-1,0,1 б) -2,-1,0,1,2

в) 0,-2,-4,-16,-50 г) 1,2,3,4,5

3. Найдите сумму 6-ти первых членов числовой последовательности: 2,4,6,8,

а) 66 б) 36

в) 32 г) 42

4. Какие из перечисленных последовательностей являются бесконечно убывающими:

а) б) 2,4,6,8,…

в) г)

- Сегодня мы познакомимся со знаменитой последовательностью:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, Каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предшествующих. Этому ряду натуральных чисел, имеющему своё историческое название – ряд Фибоначчи, присуща своя логика и красота. Леонардо Фибоначчи (1180-1240). Крупный итальянский математик, автор «Книги абака». Эта книга несколько веков оставалась основным хранилищем сведений по арифметике и алгебре. Именно по трудам Л. Фибоначчи вся Европа осваивала арабские цифры, систему счета, а также практическую геометрию. Они оставались настольными учебниками, чуть ли не до эпохи Декарта (а это уже 17 век!).

Посмотрите фильм о том, как встречаются числа Фибоначчи в явлениях природы.

Приложение 1

Оценочный лист

ФИО ____________________________________________

5 б. – все понял и могу объяснить другому;
4 б. – сам понял, но объяснить не берусь;
3 б. – для полного понимания надо повторить;
2 б. – я ничего не понял.

Тестовая проверочная работа

1.Последовательность задана формулой a_n=5n+2 . Чему равен её третий член?

а) 3 б)17

в) 12 г) 22

2 . Выпишите 5 первых членов последовательности, заданной формулой a_n=n-3

а) -3,-2,-1,0,1 б) -2,-1,0,1,2

в) 0,-2,-4,-16,-50 г) 1,2,3,4,5

3. Найдите сумму 6-ти первых членов числовой последовательности: 2,4,6,8,

а) 66 б) 36

в) 32 г) 42

4. Какие из перечисленных последовательностей являются бесконечно убывающими:

а) б) 2,4,6,8,…

в) г)

Тестовая проверочная работа

1.Последовательность задана формулой a_n=5n+2 . Чему равен её третий член?

а) 3 б)17

в) 12 г) 22

2 . Выпишите 5 первых членов последовательности, заданной формулой a_n=n-3

а) -3,-2,-1,0,1 б) -2,-1,0,1,2

в) 0,-2,-4,-16,-50 г) 1,2,3,4,5

3. Найдите сумму 6-ти первых членов числовой последовательности: 2,4,6,8,

а) 66 б) 36

в) 32 г) 42

4. Какие из перечисленных последовательностей являются бесконечно убывающими:

а) б) 2,4,6,8,…

в) г)