Пособие по теме Решение показательных уравнений

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Для самостоятельной работы студентов

По учебному предмету: МАТЕМАТИКА

Тема: «Решение показательныхх уравнений»

Специальность: 34.02.01 Сестринское дело Курс: 1

(базовой подготовки)

Купино

2021

Рассмотрено на заседании предметной цикловой

Методической комиссии по общеобразовательным предметов,

общему гуманитарному и социально-экономическому, математическому и

естественно-научному циклу

Протокол № _____ от «_____» _________20____г.

Автор – составитель: преподаватель математики высшей категории Тюменцева О.Н.

Купино

2021 г

Пояснительная записка к методическому пособию

Методическое пособие предназначено для повторения теоретических и практических знаний по теме.

Цель пособия – повторить понятия показательной функции и ее свойств, показательного уравнения, методов решения показательных уравнений и подготовиться к занятию по теме «Решение рациональных, показательных, логарифмических уравнений».

Данное пособие рекомендовано для студентов первого курса специальности 34.02.01 Сестринское дело. Пособие содержит определения и формулы по теме: Показательные уравнения, тест для самоконтроля и критерии оценки теста.

Пособие направлено на формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом, формирование навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала, повышение интереса к предмету.

Решение показательных уравнений

Показательным называется уравнение, содержащее переменную только в показателе степени. Рассмотрим несколько типов показательных уравнений, решаемых методами элементарной математики. Показательные уравнения рассматриваются в множестве действительных чисел. Уравнение вида _{ }^х = b называется простейшим показательным.

Решение простейших показательных уравнений.

Решение показательных уравнений основано на свойстве степеней: две степени с одним и тем же положительным и отличным от единицы основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели. Используя это свойство, уравнение _{ }^х = b, где _{ } ˃ 0 , _{   } 1 и b _{ } 0, следует решать следующим образом:

_{ }^х = b _{   }^х = _{   } x = _{ } .

Пример 1. Решить уравнение _{ } = _{ }.

Решение. Поскольку _{ } = _{ }; 0,5х² – х = – _{ }; 4х² – 8х +3 = 0.

D = 16 – 12 = 4; х_1,2 = _{ } ; х₁ = 0,5, х₂ = 1,5. Ответ: 0,5; 1,5.

Пример 2. Решить уравнение _{ } = _{ }.

Решение. Поскольку _{ } = _{ }, _{ }= _{ }^2х-5 = _{ },

_{     } 2х = 6х – 15 _{ } х = _{ }. Ответ: _{ }

Пример 4. Найти корни уравнения _{ } = _{ }.

Решение. Используя определение логарифма, запишем _{ } = _{ } = _{ }

Тогда данное уравнение примет вид _{ } = _{ }. Следовательно, можно записать

_{ } = х _{ } х² = _{ }, а так как _{ } 0 , то х = _{ }. Ответ. _{ }

Решение показательных уравнений введением новой переменной.

Пример 1. Решить уравнение _{ } – _{ } + 12 = 12.

Решение. Поскольку _{ } = _{ }, _{ } = 8·_{ }, введем новую переменную р = _{ }.

Получим уравнение _{ } – 8р + 12 = 0, из которого находим р₁ = 2, р₂ = 6. Поэтому исходное уравнение равносильно совокупности простейших показательных уравнений _{ } = 2, _{ } = 6. Корнем первого уравнения является х = _{ }, а второго – х = _{ }.

Ответ: _{ }; _{ }.

Пример 2. Решить уравнение (_{ } + _{ } = 14.

Решение. Используя равенство _{ } = _{ } , введем новую переменную

р = _{ }. В этом случае получим уравнение р + _{ } = 14, решая которое, находим его корни, _{ } -14р + 1 = 0, р = 7 _{   } = 7 _{   } .

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

(_{ } = 7 _{   }; (_{ } = 7 _{   }.

Корень первого уравнения х = 2, второго – х = -2. Ответ: -2; 2.

Пример 3. Решить уравнение _{ } – 13·_{ } – _{ } = 0.

Решение. Запишем уравнение в виде _{ } 13·_{ } – _{   } = 0.

Оно является однородным третьей степени относительно степеней _{ }.

Разделим все члены уравнения на _{   } 0 и получим _{ } 13·_{ }– _{ }+ 13= 0.

Введем новую переменную р = _{ }, уравнение примет вид кубического уравнения

_{ } – 13_{ } – р +13 = 0. Разложим методом группировки левую часть уравнения на множители и найдем его корни:_{ } – р – 13_{ } – 1) = 0, р(р² -1) – 13(р² – 1) = 0, (р² -1)(р – 13) = 0, р₁ = -1, р₂ = 1, р₃ = 13. Исходное уравнение равносильно совокупности трех простейших показательных уравнений _{ } = –1, _{ } = 1, _{ } = 13. Первое уравнение корней не имеет, корень второго – х = 0, третьего уравнения х = _{ }

Ответ: 0, _{ }

Аналогично уравнениям, которые были рассмотрены в примерах 1, 2, 3, введением новой переменной р = _{ }^х решение уравнения вида f(_{ }^х) = 0 сводится к нахождению всех положительных корней р_k уравнения f(р) = 0 и решению простейших показательных уравнений _{ }^х = р_k.

Пример 4. Решить уравнение _{ } – 5 · _{ } + 1 = 0.

Решение. Так как _{ }= _{ } = 4·_{ } то уравнение можно записать так: 4·_{ } – 5 ·_{ } + 1 = 0. Введем новую переменную р = _{ }. Получим квадратное уравнение 4р² – 5р +1 = 0, которое имеет корни р₁ = 1, р₂ = _{ }. Исходное уравнение равносильно совокупности двух показательных уравнений _{ } = 1, _{ } = _{ }. Решая первое уравнение, получаем 2х – х² = 0, х = 0, х = 2. Решая второе уравнение, находим ещё два корня: 2х – х² = – 2, х = _{ }. Ответ: _{ }; 0; 2; _{ }.

Пример 6. Решить уравнение _{ } + _{ } = 3.

Решение. Так как 2_{ } = 1 + _{ }, то данное уравнение перепишем в следующем виде _{ } + _{ } = 3. Сделаем замену у = _{ }, тогда получим квадратное уравнение у² + 2у -3 = 0, из которого найдем корни у₁ = –3, у₂ = 1. Значение у₁ = –3, очевидно, постороннее. Поэтому исходное уравнение равносильно уравнению _{ } = 1, откуда _{ } = 0, х = _{ } + _{ } , n_{ }. Ответ: _{ } + _{ } , n_{ }.

Метод вынесения общего множителя за скобки.

Пример 1. Решить уравнение _{ } + 4 · _{ } + 2 · _{ } = 19 · _{ } – 4 · _{ }.

Решение. Преобразуем данное уравнение, перенеся члены с одинаковыми основаниями в одну и ту же уравнения и вынося за скобки степень с наименьшим показателем, к виду:

_{ } + 4 · _{ } + 4 · _{ }= 19 · _{ } – 2 · _{     }(9 + 4 · 3 + 4) = _{ }19 – 2 · 5) _{     } 25 = _{ } 9. Запишем последнее равенство в виде пропорции и получим:

_{ } = _{     }= _{ }. Это уравнение равносильно уравнению х – 2 = 2, откуда х = 4. Ответ: 4.

Пример 2. Решить уравнение _{ } – _{ } = _{ } – _{ }.

Решение. Сгруппируем члены, содержащие степени с одинаковыми основаниями с разных сторон равенства: _{ } + _{   } = _{ } + _{ } . Выносим общие множители за скобки:

_{ }(1 + _{ }) = _{ }(1 + 3). Разделим это уравнение на выражение, стоящее в правой части, получим _{ } = 1. Таким образом, находим _{ } = 0; следовательно, _{ } – единственный корень исходного уравнения. Ответ: _{ }.

Метод использования монотонности показательной функции.

Пример 1. Решить уравнение _{ } + _{ } + _{ } = 9.

Решение. Можно заметить, что х = 1 – корень данного уравнения. Покажем, что других корней уравнение не имеет. Рассмотрим функцию f(x) = _{ } + _{ } + _{ }. Она монотонно возрастает на всем множестве действительных чисел и f(1) = 9. Свойством монотонной функции является то, что она принимает каждое свое значение только один раз. Поэтому, х = 1 – единственный корень данного уравнения. Ответ: 1.

Пример 2. Решить уравнение _{ } + _{ } = 34.

Решение. Заметим, что корнем уравнения является число х = 2 (3² + 5² = 34). Докажем, что других корней уравнение не имеет. Каждая из функций _{ } и _{ } является возрастающей, следовательно, их сумма – тоже возрастающая функция. При х = 2 левая часть равна 34, при х 2 – больше 34. Итак, уравнение имеет единственный корень. Ответ: 2.

Пример 3. Решить уравнение _{ } + _{ } = _{ }

Решение. Убеждаемся, что х = 1 – корень уравнения. Можно доказать, что других корней уравнение не имеет. Для этого оценим его левую и правую части уравнения. Если х 1, то вследствие убывания функции у = _{ } имеем _{ } + _{   }+ _{ } = 2, а вследствие возрастания функции у = _{ } имеем _{ } Поэтому, при х 1 левая часть уравнения строго меньше 2, а правая строго больше 2. Следовательно, при х 1 уравнение корней не имеет. Аналогично, при х

Метод логарифмирования для решения показательных уравнений.

В основе этого метода лежит следующее утверждение: если выражения f(x) и h(x) положительны на множестве D, то уравнение f(x) = h(x) равносильно уравнению _{ }= _{ }на множестве D, где _{ }0 и _{ } 1.

Пример1. Решите уравнение _{ } = _{ }.

Решение. Область допустимых значений уравнения х_{ }. Так как обе части уравнения положительные, то, прологарифмировав уравнение, например, по основанию 2, получим равносильное ему уравнение: 3х – 2 = (3 – х) · _{ }.

Решая это уравнение с помощью равносильных переходов, имеем:

3х – 2 = 3_{   } 3х + _{ }3_{ } +2 _{ } х(3 + _{ } = 3_{ } + 2 _{ } х = _{ }. Ответ: _{ }.

Пример 2. Решить уравнение _{ } · _{ } = 500.

Решение. Прологарифмируем это уравнение по основанию 5 или 2. (Можно логарифмировать по любому основанию, но не совсем удачный выбор основания может привести к громоздким преобразованиям). Тогда имеем следующее уравнение х + 3 · _{   } = 3 + 2_{ } х² + х(_{ } – 3) – 3_{ } = 0. Дискриминант

D = (_{ } – 3)² + 12_{ } = (_{ } + 3)², следовательно, корни уравнения будут

х_1,2 = _{ } отсюда х₁ = 3, х₂ = – _{ } Ответ: – _{ }

Пример 3. Решить уравнение _{ } (_{ }^х-1 = _{ }.

Решение. Обе части данного уравнения положительны. Прологарифмируем обе части этого уравнения по основанию 5: (х – 1)_{ } + _{   } = _{ } – _{ }, т.е. уравнение

х(_{ } – 1) – _{ }+ 1 – _{ } + _{ } = _{ } х – 1 – _{ } , равносильное исходному уравнению. Отсюда получаем х_{ } = _{ } , т.е. х = _{ }. Ответ: _{ }.

Пример 4. Решить уравнение _{ } = 9.

Решение. Область допустимых значений уравнения: х 0.

Поскольку обе части уравнений положительны, то прологарифмируем по основанию 3:

_{ })_{ } = 2, (_{ } + _{ } = _{ }, _{ } = 1 и _{ } = 2, следовательно,

(1 + _{ } = 2, _{ } + _{ } – 2 = 0. Сделаем замену _{ } = у, тогда у² + у – 2 = 0, корнями которого являются числа у₁ = – 2 и у₂ = 1. Возвращаемся к нашей замене и получаем: _{ } = – 2 или _{ } = 1. Тогда х₁ = _{ } и х₂ = 3. Ответ: _{ }; 3.

Пример 5. Решить уравнение |_{ } = 1.

Решение. Понятно, что х _{ } 3,следовательно, |х – 3| _{ } 0. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10, тогда (3х² – 10х + 3)_{ } = 0, откуда

3х² – 10х + 3 = 0 или _{ } = 0. Корнями квадратного уравнения 3х² – 10х + 3 = 0 будут

х₁ = _{ } и х₂ = 3. Из уравнения _{ } = 0 находим |х – 3| =1 _{ } х – 3 = – 1 или х – 3 = 1.

Поэтому х₃ = 2, х₄ = 4; х₂ = 3 не подходит по ОДЗ логарифма. Ответ: _{ }; 2; 4.

Нестандартные методы решений показательных уравнений.

Пример 1. Решите уравнение 3 _{ } + (3х – 10)_{ } + 3 – х = 0.

Решение. Данное уравнение кроме показательных функций содержит линейные функции у = 3х – 10 и у = 3 – х. Можно заметить, что относительно р = _{ } оно является квадратным:

3р² + (3х – 10)р + 3 – х = 0 и поэтому р = _{ } = _{ } = _{ } = _{ } = _{ }, откуда р = _{ }, р = 3 – х. Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений: _{ } = _{ } , _{ } = 3 – х. Корень первого уравнения х = _{ }. Второе уравнение имеет корень х = 1, а других корней не имеет, т. к. его левая часть – всюду возрастающая функция, а правая – всюду убывающая. Ответ: 1; _{ }.

Пример 2. Решить уравнение _{ } + х = 2.

Решение. Применив формулу основного логарифмического тождества, получим уравнение х² – 2х – 1 + х = 2(*), корни которого х₁ = _{ } и х₂ = _{ }. Теперь достаточно проверить, какое из полученных чисел удовлетворяет неравенству: х² – 2х – 1 _{ } 0 (**). Это можно сделать проще (не подставляя в неравенство полученные числа). Перепишем уравнение (*) в виде х² – 2х – 1 = 2 – х, тогда видим, что выражение х² – 2х – 1 положительно тогда и только тогда, когда х _{ } 2. Таким образом, вместо Дубова Мария Игоревна 273 – 784 - 574

проверки неравенства (**) можно проверить условие х _{ } 2. Теперь видно, что только х = _{ } является корнем данного уравнения. Ответ: _{ }.

Пример 3. Решить уравнение _{ } = _{ }.

Решение. В данном уравнении удобно применить следующий прием: разделив числители и знаменатели в обеих частях уравнения на _{   } 0, получим равносильное исходному уравнение: _{ } =_{ }._{ }Далее сделаем замену _{ } = у, у_{ }0 и получаем _{ } =_{ }. (*)

Можно заметить, что у _{ } 1, у _{   }. Таким образом, получаем равносильное (*) уравнение

(5 + 5у)(2 – 3у) = 4 – 4у; 10 – 5у – 15у² – 4 + 4у = 0; 15у² + у – 6 = 0; D = 1 + 360 = 361;

у₁= _{ } у₂= _{ }; у₁ = _{ } , у_{2  }0. Вернемся к нашей замене, получим уравнение _{ } = _{ }, откуда х = 1. Ответ: 1.

Пример 4. Решить уравнение _{ } + _{ }= _{ } + 1.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде:

_{ } + _{ } = _{ } + 1.

Сделаем замену _{ } = _{ }; _{ }= b, тогда _{ } + _{ }^-1 – _{ }² – 1 = 0;

_{ }²b + b – _{ }³ – _{ } = 0; _{ }²(b – _{ }) + (b – _{ }) = 0; (b – _{ })(_{ }² + 1) = 0, откуда b = _{ } поскольку уравнение _{ }² + 1 = 0 корней не имеет. Таким образом, _{ }= _{ } и

х² + 1 = 2х. Очевидно, что х = 1. Ответ: 1.

Пример 5. Решить уравнение 6 · _{ } + 8 · _{ }= 48.

Решение. Разделим обе части уравнения на 24, получим уравнение

_{ }+ _{ } = 2. Применяя неравенство |_{ }|_{ }|_{ } + |b| (его легко доказать возведением обеих частей в квадрат), получим |х – 2| + |х – 4| _{ } |х – 2 – (х – 4)| = 2 и |х – 1| + |х – 3| = |х – 1 – (х – 3)| = 2, поэтому _{ } 1 и _{ } 1.

Знак равенства возможен, если имеет решение система уравнений:

_{         }. Ответ: _{ } Пример 5. Решить уравнение х² – 2х + 2 = 2 · _{ } – _{ }Решение. Представим уравнение в виде (_{ } – 1)² + (х – 1)² = 0. Это уравнение равносильно системе: _{ } откуда х = 1. Ответ: 1.

Тест по теме: Решение показательных уравнений

Эталоны ответов теста по теме: Решение показательных уравнений

Критерии оценивания тестовых заданий

10 вопросов 5 (отлично) (10-9 ответов)

10 вопросов 4 (хорошо) (8-7 ответов)

10 вопросов 3 (удов) (6 ответов)

Литература

1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 (11) кл. – М.: 2018

2. Башмаков М.И. Сборник задач: учеб. пособие (базовый уровень). 11 кл. – М.: 2012

Интернет-ресурсы

1. http://school-collection.edu.ru – Электронный учебник «Математика в

школе, XXI век».

1. http://fcior.edu.ru - информационные, тренировочные и контрольные материалы.

2. www.school-collection.edu.ru – Единая коллекции Цифровых образовательных ресурсов