Пособие по теме Степенные функции

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Для самостоятельной работы студентов

По дисциплине: МАТЕМАТИКА (включая алгебру и начала математического анализа; геометрию)

Тема: «Степенные функции»

Специальность: 34.02.01 Сестринское дело Курс: 1

(базовой подготовки)

Купино

2020

Рассмотрено на заседании предметной цикловой

Методической комиссии по общеобразовательным дисциплинам,

общему гуманитарному и социально-экономическому, математическому и

естественно-научному циклу

Протокол № _____ от «_____» _________20____г.

Автор – составитель: преподаватель математики высшей категории Тюменцева О.Н.

Купино

2020 г

Пояснительная записка к методическому пособию

Методическое пособие предназначено для повторения теоретических и практических знаний по теме.

Цель пособия – повторить понятия степенной функции, определять вид и строить графики степенных функции, находить ее область определения и область значений и подготовится к занятию по теме «Степенные функции».

Данное пособие рекомендовано для студентов первого курса специальности 34.02.01 Сестринское дело. Пособие содержит определения, свойства и формулы по теме: Степенные функции, тест для самоконтроля и критерии оценки теста.

Пособие направлено на формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом, формирование навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала, повышение интереса к дисциплине.

Степенные функции

Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем   называется число  . Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем   называется число  .

Для   выполняется равенство:

.

Например: 

Определение: Функция с рациональным показателем – это функция вида  , где  . Основание степени х – аргумент данной функции, независимая переменная; у – сама функция, зависимая переменная.   – показатель степени, фиксированное рациональное число.

Например:   и т. д.

Функции с натуральным показателем

Вспомним частные случаи, например, когда показатель степени – натуральное число.

: (рис. 1)

Рис. 1. График функции 

Показатель степени – четное натуральное число,  : (рис. 2)

Рис. 2. График функции 

Данное семейство кривых проходит через три фиксированные точки: (0;0), (1;1), (-1;1). Основное свойство этих функций – четность, их графики симметричны относительно оси ОУ.

Показатель степени – четное натуральное число,  : (рис. 3)

Рис. 3. График функции 

Данное семейство кривых проходит через три фиксированные точки: (0;0), (1;1), (-1;-1);

Основное свойство этих функций – нечетность, их графики симметричны относительно начала координат.

Функции с целым отрицательным показателем

Рассмотрим случаи, когда показатель степени – целое отрицательное число.

При  : (рис. 4)

Рис. 4. График функции 

График данной функции проходит через две фиксированные точки: (1;1), (-1;-1).

При четных n,  : (рис. 5)

Рис. 5. График функции 

Все графики таких функций проходят через две фиксированные точки: (1;1), (-1;1). Особенность функций данного вида – их четность, графики симметричны относительно оси ОУ.

При нечетных n,  : (рис. 6)

Рис. 6. График функции 

Все графики таких функций проходят через две фиксированные точки: (1;1), (-1;-1). Особенность функций данного вида – их нечетность, графики симметричны относительно начала координат.

Функция с рациональным положительным показателем, меньшим единицы, ее свойства

Переходим к функциям с рациональным показателям,  , рассмотрим случаи, когда показатель степени меньше единицы:  .

Например:  ,  .

Итак, мы рассматриваем функции  .

Рис. 7. График функции 

Все кривые данного вида проходят через две фиксированные точки: (0;0), (1;1). Рассмотрим основные свойства функции с рациональным показателем, когда он лежит в пределах от нуля до единицы.

Рассмотрим подкоренное выражение:

Данная функция монотонно возрастает на своей области определения.

Рассмотрим следующую функцию:

Данная функция также монотонно возрастает на своей области определения.

Таким образом, изучаемая функция монотонно возрастает.

Область определения рассматриваемой функции:  .

Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу, максимального значения нет, минимальное достигается при  :  .

Функция непрерывна, принимает все неотрицательные значения.

Функция выпукла вверх.

На кривой взяты точки А и В, через них проведен отрезок, вся кривая находится выше отрезка, данное условие выполняется для произвольных двух точек на кривой, следовательно функция выпукла вверх (рис. 8).

Рис. 8. Выпуклость функции

Функция с рациональным положительным показателем, большим единицы, ее свойства

Перейдем к случаям, когда рациональный показатель функции больше единицы.

.

Например: 

, данная функция монотонно возрастает на своей области определения, т. к. оба сомножителя возрастают и положительны.

Чтобы понять, как проходит график данной функции, построим таблицу.

Рис. 9. График функции 

Графики данных функций проходят через две фиксированные точки – (2;0), (1;1).

Рассмотрим свойства функций  .

Область определения:  .

Функция возрастает на всей области определения.

Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу, максимального значения нет, минимальное достигается при  :  .

Функция непрерывна, принимает все неотрицательные значения.

Функция выпукла вниз.

На кривой взяты точки А и В, через них проведен отрезок, вся кривая находится ниже отрезка, данное условие выполняется для произвольных двух точек на кривой, следовательно функция выпукла вниз (рис. 10).

Рис. 10. Выпуклость функции.

Рассмотрим пример на свойства степенной функции с рациональным положительным показателем.

Пример 1 – найти множество значений функции:

.

Поскольку функция, как нам известно, монотонно возрастает, вычислим значения в граничных точках, и интервал значений между ними и будет искомое множество значений.

.

Ответ:  .

Напомним свойства и графики степенных функций с целым отрицательным показателем.

При четных n,  :

Пример функции: 

Все графики таких функций проходят через две фиксированные точки: (1;1), (-1;1). Особенность функций данного вида – их четность, графики симметричны относительно оси ОУ.

Рис. 1. График функции 

При нечетных n,  :

Пример функции: 

Все графики таких функций проходят через две фиксированные точки: (1;1), (-1;-1). Особенность функций данного вида – их нечетность, графики симметричны относительно начала координат.

Рис. 2. График функции 

Функция с отрицательным рациональным показателем степени, графики, свойства

Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем   называется число  .

Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем   называется число  .

Для   выполняется равенство:

Например:  ;   – выражение не существует по определению степени с отрицательным рациональным показателем;  существует, т. к. показатель степени целый,

Перейдем к рассмотрению степенных функций с рациональным отрицательным показателем.

Например:

Для построения графика данной функции можно составить таблицу. Мы поступим иначе: сначала построим и изучим график знаменателя – он нам известен (рисунок 3).

Рис. 3. График функции 

График функции знаменателя проходит через фиксированную точку (1;1). При построении графика исходной функции данная точка остается, при   корень также стремится к нулю, функция стремится к бесконечности. И, наоборот, при стремлении х к бесконечности функция стремится к нулю (рисунок 4).

Рис. 4. График функции 

Рассмотрим еще одну функцию из семейства изучаемых функций.

Важно, что   по определению

Рассмотрим график функции, стоящей в знаменателе:  , график данной функции нам известен, она возрастает на своей области определения и проходит через точку (1;1) (рисунок 5).

Рис. 5. График функции 

При построении графика исходной функции точка (1;1) остается, при   корень также стремится к нулю, функция стремится к бесконечности. И, наоборот, при стремлении х к бесконечности функция стремится к нулю (рисунок 6).

Рис. 6. График функции  Рассмотренные примеры помогают понять, каким образом проходит график и каковы свойства изучаемой функции – функции с отрицательным рациональным показателем.

Графики функций данного семейства проходят через точку (1;1), функция убывает на всей области определения.

Область определения функции: 

Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Функция непрерывна, принимает все положительные значения от нуля до плюс бесконечности.

Функция выпукла вниз (рисунок 15.7)

На кривой взяты точки А и В, через них проведен отрезок, вся кривая находится ниже отрезка, данное условие выполняется для произвольных двух точек на кривой, следовательно функция выпукла вниз. Рис. 7.

Рис. 7. Выпуклость функции

Пример 2 – построить и прочесть график функции:

Преобразуем заданную функцию по определению рациональной степени:

Не забудем указать, что по определению 

Строим график функции  , для нас это стандартная кривая, она проходит через точку (1;1), убывает. После этого сдвигаем полученный график на одну единицу вверх, точка (1;1) переходит в точку (1;2) (рисунок 8)

Читаем полученный график: если аргумент возрастает от нуля (не включая) до бесконечности, функция убывает от бесконечности до единицы (не включая).

Рис. 8. Построение графика функции 

Пример 3 – построить и прочесть график функции:

Преобразуем заданную функцию по определению степени с рациональным показателем:

Нам известен график функции  , построим его. Полученная кривая возрастает и проходит через точку (1;1), поскольку показатель степени больше единицы – кривая выпукла вниз. Сдвинем построенную кривую на две единицы вправо (получаем график функции  ) и на одну единицу вверх – получаем искомый график (рисунок 9)

Прочтем полученный график:

При возрастании аргумента от двух до бесконечности функция возрастает от единицы до бесконечности.

Преобразование графиков элементарных функций

В чистом виде основные элементарные функции встречаются, к сожалению, не так часто. Гораздо чаще приходится иметь дело с элементарными функциями, полученными из основных элементарных при помощи добавления констант и коэффициентов. Графики таких функций можно строить, применяя геометрические преобразования к графикам соответствующих основных элементарных функций (или переходить к новой системе координат). К примеру, квадратичная функция   представляет собой квадратичную параболу  , сжатую втрое относительно оси ординат, симметрично отображенную относительно оси абсцисс, сдвинутую против направления этой оси на 2/3 единицы и сдвинутую по направлению оси ординат на 2 единицы.

Таким образом, различают три вида геометрических преобразований графика функции:

• Первый вид - масштабирование (сжатие или растяжение) вдоль осей абсцисс и ординат.

На необходимость масштабирования указывают коэффициенты   и  отличные от единицы, если  , то происходит сжатие графика относительно oy и растяжение относительно ox , если  , то производим растяжение вдоль оси ординат и сжатие вдоль оси абсцисс.

• Второй вид - симметричное (зеркальное) отображение относительно координатных осей.

На необходимость этого преобразования указывают знаки «минус» перед коэффициентами  (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси ox ) и   (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси oy ). Если знаков «минус» нет, то этот шаг пропускается.

• Третий вид - параллельный перенос (сдвиг) вдоль осей ox и oy.

Это преобразование производится В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ при наличии коэффициентов a и b, отличных от нуля. При положительном а график сдвигается влево на |а| единиц, при отрицательных а – вправо на |а| единиц. При положительном b график функции параллельно переносим вверх на |b| единиц, при отрицательном b – вниз на |b| единиц.

Тест по теме: Степенные функции Вариант 1

А1. Найдите значение выражения:

1) 12; 2) 6; 3) 3; 4) –3.

А2. Представьте данное выражение в виде степени:

1) у ^-3; 2) у ^-7,14; 3) у ³; 4) у ⁶.

А3. Упростите выражение: (а^-1,5) .

1) а; 2) а ; 3) а ; 4)

АА4. Упростите выражение: b^-0,2 : b^-0,7.

1) 2) 3) b ^–0,9; 4) b^2/7.

А5. На каком из рисунков изображен график функции y = x ^-2 ?

1 ) у 2) у 3) у 4) у

1 1 1 1 х

0 1 х 0 1 х 0 1 х 0 1

А6.Укажите рисунок, на котором изображен график нечетной функции

1 ) у 2) у 3) у 4) у

1 1 1 1

0 1 х 0 1 х 0 1 х 0 х

А7. Найдите сумму корней уравнения х +1 = .

1) –1; 2) 1; 3) 4; 4)5.

А 8. График какой функции изображен на рисунке?

1) 3)

2) 4)

А9. Какова область определения функции у = х ^-6 ?

1) (0; +¥); 2) (-¥; 0)È(0; +¥); 3) (-¥; 0); 4) х – любое число.

А10. Укажите множество значений функции .

1) (0; +¥); 2) (0; ); 3) (-¥; 0); 4) (-¥; +¥).

Тест по теме: Степенные функции Вариант 2

А1. Найдите значение выражения: .

1) 0,016; 2) 0,0016; 3) 0,2; 4) 0,04.

А2. Упростите выражение: (х ^-2,5) .

1) х ^–2,9; 2) х ^–2,1; 3) х; 4) .

А3. Упростите выражение: d ^1,8 : d ^-2.

1) d ^-0,9; 2) d ^3,8; 3) d^–0,2; 4) d ^0,2.

А4. Найдите значение выражения:

1) 4; 2) 2; 3) ; 4) 2 .

А5. На каком из рисунков изображен график функции у = х ⁴?

1 ) 2) 3) 4)

у у у у

1 1 1 1

0 1 х 0 1 х 0 1 х 0 1 х

А6. Укажите рисунок, на котором изображен график нечетной функции.

1) у 2) у 3) у 4) у

1 1 1 1

0 1 х 1 х 0 1 х 0 1 х

А 7. Найдите корни уравнения .

1) 3; 2) -3 и 8; 3) -3; 4)8.

А8. График какой функции изображен на рисунке?

1) 2) 3) 4)

А9. Какова область определения функции ?

1) (0; +¥); 2) [0; +¥); 3) (-¥; 0]; 4) (-¥; 0)È(0; +¥)

А10. Укажите множество значений функции .

1) (0; +¥); 2) (0; 7); 3) (-¥; 0); 4) (-¥; +¥).

Критерии оценивания тестовых заданий

10 вопросов 5 (отлично) (10-9 ответов)

10 вопросов 4 (хорошо) (8 ответов)

10 вопросов 3 (удов) (7 ответов)

Литература

1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М.: 2018

2. Башмаков М.И. Сборник задач: учеб. пособие (базовый уровень). 11 кл. – М.: 2012

Интернет-ресурсы

1. http://school-collection.edu.ru – Электронный учебник «Математика в

школе, XXI век».

1. http://fcior.edu.ru - информационные, тренировочные и контрольные материалы.

2. www.school-collection.edu.ru – Единая коллекции Цифровых образовательных ресурсов