Построение с помощью циркуля и линейки

Исторические сведения:

3

И в Вавилоне, и в Древнем Египте в IV–II тысячелетиях до н.э. уже существовала практическая математика (в виде правил записи чисел, т.е. системы счисления, и правил различных вычислений), и практическая геометрия – геометрия в изначальном смысле слова: измерение земли. Но и при измерениях, и при строительных работах нужны были построения.

I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I

В геометрии выделяют задачи на построение, которые можно решить только с помощью двух инструментов: циркуля и линейки без масштабных делений.

Линейка позволяет провести произвольную

прямую, а также построить прямую, проходящую

через две данные точки; с помощью циркуля

можно провести окружность произвольного

радиуса, а также окружность с центром в

данной точке и радиусом, равным данному

отрезку.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Построение угла, равного данному.

Дано: угол А.

С

E

А

В

О

D

Теперь докажем, что построенный угол равен данному.

Построение угла, равного данному .

Построили угол О.

Дано: угол А.

С

E

А

О

В

D

Доказать: А = О

Доказательство: рассмотрим треугольники АВС и О DE .

• АС= AB , как радиусы окружности c центром А.
• OE =О D , как радиусы окружности с центром О.
• ВС= DE по построению.

АВС= О D Е (3 приз.) А = О

биссектриса

Построение биссектрисы угла.

Докажем, что луч АВ – биссектриса А

П Л А Н

• Дополнительное построение.
• Докажем равенство

треугольников ∆ АСВ и ∆ А DB .

3. Выводы

• АС=А D , как радиусы одной окружности.
• СВ= DB , как радиусы одной окружности.
• АВ – общая сторона.

∆ АСВ = ∆ А D В, по III признаку

равенства треугольников

С

В

А

Луч АВ – биссектриса

D

Построение

перпендикулярных

прямых.

P

М a

М

В

А

Q

Докажем, что а РМ

P

М a

a

М

В

А

Докажем, что а РМ

• АМ=МВ, как радиусы одной окружности.
• АР=РВ, как радиусы одной окружности

АРВ р/б

3. РМ медиана в р/б треугольнике является также ВЫСОТОЙ.

Значит, а РМ.

Q

Построение перпендикулярных прямых.

М

М a

a

Докажем, что а MN

N

Докажем, что а MN

Посмотрим

на расположение

циркулей.

АМ=А N=MB=BN ,

как равные радиусы.

М N- общая сторона.

M В N = MAN ,

по трем сторонам

М

2

1

М a

a

A

C

B

1 = 2

N

В р/б треугольнике АМВ отрезок МС является биссектрисой,

а значит, и высотой. Тогда, а М N.

Построение

середины отрезка

P

В

О

А

Q

Докажем, что О – середина отрезка АВ.

Докажем, что О –

середина отрезка АВ.

P

1

2

АР Q = BPQ ,

по трем сторонам.

В

А

О

1 = 2

Треугольник АРВ р/б.

Отрезок РО является биссектрисой,

а значит, и медианой.

Тогда, точка О – середина АВ.

Q

Построение треугольника по трем сторонам.

• Построим луч а .
• Отложим отрезок АВ, равный P 1 Q 1 .
• Построим дугу с центром в т. А и

радиусом Р 2 Q 2 .

• Построим дугу с центром в т.В и

радиусом P 3 Q 3 .

Дано:

отрезки

Р 1 Q 1 , Р 2 Q 2 , P 3 Q 3 .

P 1

Q 1

С

P 2

Q 2

Q 3

P 3

а

А

В

Треугольник АВС искомый. Обоснуй, используя III признак.