Построение сечений

Л – левая рука

П – правая рука

«ЛЛЛ» – художественный тип личности

(образное мышление)

«ППП» –

тип мыслителей

(логическое мышление)

геометрия 10 класс

Цели урока:

• научиться строить сечения тетраэдра и параллелепипеда заданной плоскостью;
• найти закономерность между количеством граней у многогранников и видов многоугольников, получившихся в сечении.

Задачи:

• Дать определение секущей плоскости и определение сечения многогранника.
• Познакомить с правилами построения сечений тетраэдра и

параллелепипеда.

• Рассмотреть возможные варианты сечений тетраэдра и параллелепипеда.
• Выработать навыки построения сечений тетраэдра и параллелепипеда при различных случаях задания секущей плоскости.
• Способствовать формированию у учащихся пространственного воображения.
• Развивать умения у учащихся анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы.

ТЕТРАЭДР

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Секущей плоскостью многогранника называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

А

N

M

α

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника .

K

D

В

С

8

Для решения многих геометрических задач необходимо строить их сечения различными плоскостями.

9

Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками.

1. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани.

2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам.

3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.

9

A

AB ∩ m = C

M

B

C

C

m

A

B

D

N

MN ∩ BA = K

K

Рис. 1

Рис. 2

9

Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.

Исследовательская работа

«Какие фигуры могут получиться в сечениях тетраэдра и параллелепипеда плоскостью?»

9

Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M , N , K

D

• Проведем прямую через

точки М и К, т.к. они лежат

в одной грани (А DC ).

D

N

M

2. Проведем прямую через точки К и N , т.к. они лежат в одной грани (С DB ).

K

B

A

B

A

C

C

3. Аналогично рассуждая, проводим прямую MN .

4. Треугольник MNK – искомое сечение .

Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки D, Е, K .

Построение:

S

1 . DE

2. ЕК

3. ЕК ∩ АС = F

4 . FD

5. FD ∩ B С = M

6 . KM

E

D Е K М – искомое сечение

K

F

А

С

M

D

В

14

Сечения параллелепипеда

B ₁

C ₁

N

D ₁

A ₁

P

B

C

Если секущая плоскость пересекает три грани параллелепипеда, то сечением

является треугольник.

M

∆ MNP – сечение .

D

A

C ₁

B ₁

M

A ₁

D ₁

N

P

Если секущая плоскость пересекает 4 грани параллелепипеда, то сечением

является четырёхугольник.

B

Четырёхугольник MNQP – сечение .

C

Q

A

D

Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Р, К, М, М∈ВС.

Построение:

В 1

C 1

1. К P

Р

2. EM ║ К P

К

3. EK

4. М N ║ EK

А 1

D 1

5. Р N

N

K Р N М E – искомое сечение

Если секущая плоскость пересекает 5 граней параллелепипеда, то сечением

является пятиугольник.

М

В

С

А

D

E

17

Построить сечение плоскостью, проходящей через точки К, L, М.

Построение:

1. ML

T

К

2. ML ∩ D 1 А 1 = E

В 1

3. EK

C 1

4 . EK ∩ А 1 B 1 = F

F

5 . LF

E

P

А 1

6 . LM ∩ D 1 D = N

D 1

7 . Е K ∩ D 1 C 1 = T

8 . NT

9 . NT ∩ DC = G

NT ∩ CC 1 = P

L

В

10 . MG

С

11 . PK

М LFKPG – искомое сечение

G

А

D

М

N

18

Какие многоугольники могут получиться в сечении ?

Тетраэдр имеет 4 грани

В сечениях могут получиться:

• Четырехугольники

• Треугольники

Параллелепипед имеет 6 граней

• Пятиугольники

• Треугольники

В его сечениях

могут получиться:

• Шестиугольники

• Четырехугольники

Сечения тетраэдра и параллелепипеда

18

ВЫВОД:

Число граней

многогранника

Число граней

многогранника

Многогранник

Многогранник

4

n – число сторон сечения

Тетраэдр

n – число сторон сечения

Тетраэдр

6

Параллелепипед

3, 4

Параллелепипед

3, 4, 5, и 6

Т.к. тетраэдр имеет четыре грани , то в сечении могут получиться либо треугольники , либо четырехугольники .

Т.к. параллелепипед имеет шесть граней , то в сечении могут получиться 3,4,5 или 6-угольники.

Следовательно : число сторон сечения зависит от количества граней многогранника.

Итог урока:

• Мне понравился (не понравился) урок, потому что…
• Сегодня на уроке я научился…
• Мне хочется, чтобы…
• В этот урок я добавил бы… ___________