Построение графиков функций с помощью производной

Построение графиков функций

Выполнила:

учитель МБОУ Сещинской СОШ Кротова Марина Сергеевна

Задача 1 На рисунке изображен график функции y = f (x) ,

определенной на интервале (-8; 3). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение

, если

убывает.

Целые решения:

х=-7; х=-6; х=-2; х=-1. Их количество равно 4.

.

Ответ: 4.

Задача 2 На рисунке изображен график функции y = f (x) ,

определенной на интервале (-6; 8). Найдите количество точек, в

которых производная функции y = f (x) равна 0.

Решение

если касательная, проведенная в эту точку имеет вид у = const.

Считаем количество точек пересечения графика функции с касательной.

Ответ: 7.

Задача 3. На рисунке изображен график функции y = f (x) ,

определенной на интервале ( a; b ). Найдите количество точек, в

которых производная функции y = f (x) равна 0.

Решите устно!

1

3

7.

Ответ:

Ответ:

7.

4

2

8.

6.

Ответ:

Ответ:

Задача 4 На рисунке изображен график производной функции y = f (x) , определенной на интервале ( x 1 ; x 2 ). Найдите количество точек максимума функции y = f (x) на отрезке [ a; b ].

Решение.

1

Найдем точки в которых

Это: -3; 3; 5.

x 0   - точка максимума, если производная при переходе через x 0   меняет свой знак с плюса на минус.

+

-

a

b

Условие выполняется в точке x = 3.

Ответ: 1 .

2

Решение.

Решение аналогично.

+

b

+

+

-

-

-

Условие выполняется в точках: -1; 8; 13 .

a

Ответ: 3 .

Алгоритм построения графиков функций

• Ввести обозначение y=f(x) .
• Найти область определения функции .
• Исследовать функцию на четность .
• Найти асимптоты: вертикальную ( если и при х=а p(x) обращается в 0, а f(x) отличен от 0, то х=а вертикальная асимптота ) и горизонтальную ( если , то y=b горизонтальная асимптота ) .
• Найти точки пересечения с осью ОХ (у=0) и ОУ (х=0) .
• Найти производную и область определения производной .
• Приравнять производную к нулю . Найти стационарные точки.
• Определить промежутки возрастания, убывания, точки экстремума . Найти значение функции в точках экстремума .
• Построить график функции .
• Выбрать несколько контрольных точек .
• Найти область значений функции .

Задача 5 Постройте график функции .

• D(f)=

• а) х=-2; x=2 – вертикальные асимптоты ;

б) ,

• а) ОХ: у=0,

б) ОУ: х=0,

у=1 – горизонтальная асимптота

6.

7.

8.

max

-

+

+

-

х

-2

2

0

y

x=2

x=-2

y=1

0

1

x

x

y

1

3

4

2,6

10.

11. E(f)=

Задача 6 а) Постройте график функции .

б) При каких значениях параметра а уравнение

имеет три корня?

• D(f)=
• Асимптот нет.

• а) ОХ: у=0,

б) ОУ: х=0, y=0-0+3=3.

6.

7.

max

+

-

+

-

8.

х

0

1

-1

min

min

y

10.

x

y

-2

-0,5

11

у=3

1

0

x

11. E(f)=

б) а=3

Домашнее задание

§ 31, № 31.9, 31.11, 31.14