СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до 20.05.2025

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Практическая работа "Построение графиков функций при помощи производной"

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Методические указания по выполнению практической работы "Построение графиков функций при помощи производной" для  профессий СПО.

Просмотр содержимого документа
«Практическая работа "Построение графиков функций при помощи производной"»



МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Тема «Построение графиков функций при помощи производной»

Цель– выработка умений и навыков применять производную для исследования свойств функции, построения графиков функций. Развитие умений работать со справочным материалом, учебником.

Задачи: Законспектировать учебный материал, исследовать функции при помощи производных, построить графики функций, ответить на контрольные вопросы.

Содержание:

1. Теоретический материал.

2. Практическая часть.

3. Контрольные вопросы.

1.Теоретический материал

Понятие производной — одно из важнейших в математике. С помощью производной, учитывая ее механический смысл (ско­рость изменения некоторого процесса) и геометрический смысл (уг­ловой коэффициент касательной), можно решать самые разнообраз­ные задачи, относящиеся к любой области человеческой деятельно­сти. В частности, с помощью производных стало возможным под­робное исследование функций, более точное построение их графи­ков, нахождение их наибольших и наименьших значений и т.д.

Исследование функций и построение графиков функций

При построении графиков функций с помощью производных можно придерживаться такого плана:

Схема исследования функции:

  1. Находят область определения функции.

  2. Выясняют, является ли функция четной или нечетной.

  3. Определяют точки пересечения графика функции с коорди­натными осями, если это возможно.

  4. Находят стационарные точки функции.

  5. Определяют промежутки монотонности и экстремумы фун­кции.

  6. Используя результаты исследования, соединяют получен­ные точки плавной кривой.

Этот план исследования функции и построения ее графика является примерным, его не всегда надо придерживаться пунк­туально: можно менять порядок пунктов, некоторые совсем опус­кать, если они не подходят к данной функции. В частности, если нахождение точек пересечения с осями координат связано с боль­шими трудностями, то этого можно не делать; если функция чет­ная, то ее график симметричен относительно оси Оу, поэтому достаточно построить график для положительных значений ар­гумента, принадлежащих области определения функции, а затем отразить его симметрично относительно оси ординат, и т.п.


Задание №1: Исследуйте функцию и постройте ее график,

f(х) = х2 + 2х - 3.


Решение.

1. Функция определена на промежутке (-∞; +∞). Точек разрыва нет.


  1. Имеем f(-х) = (-х)2 + 2(-х) - 3 = х2 - 2х - 3.

f(x) = (x)2 + 2(x) – 3 = x2 + 2x - 3

Функция не является ни четной, ни нечетной, так как

f(-х) ≠ f(х) и f(-х) ≠ -f(х).

3. Если х=0, у= 02+2•0 ─3= ─3, (0;─3) точка пересечения графика с осью ординат. Если у=0, то х2+2х─3=0. (─3;0) и (1;0) – точки пересечения графика с осью абсцисс.

4.Находим стационарные точки функции. Имеем у′ = 2х + 2,

2х + 2 = 0,

2х = -2,

х = -1.

5. Область определения функции разделится на промежутки (-∞; -1) и

(-1;+∞). Знаки производной f′(х) в каждом промежутке можно найти непосредственной подстановкой точки из рассматриваемого промежутка.

Так, f′(-2) = -2 f′(2)= 6 0.


- +

- 1


Следовательно, в промежутке (-∞; -1) функция убывает, а в промежутке

(-1;+∞) — возрастает.

При х = — 1 функция имеет минимум, равный


f(-1) = (-1)2 + 2(-1) -3 = 1-2-3 =-4.

6. Отмечаем найденные точки в прямоугольной системе коор­динат и соединяем их плавной линией.




Задание №2: Исследовать функцию и построить график:

У=

1. Область определения: (−∞,0) (0,∞).

2. Функция ни четна, ни нечетна, непериодическая.

3. Точек пересечения с осями координат нет.

4. Производная: у1=

Находим стационарные точки функции =0

х≠0 х=±

5. Функция возрастает при х (─ ;─ ) ( ; ) и убывает при х (─ ;0) (0; )

Максимум функции:(─ ;1─2 ) Минимум функции ( ;1+2 )

Найдем промежутки выпуклости и вогнутости

У ˡˡ= = =0, х≠0

Функция вогнута при х (0; и выпукла при х (─ ;0)

6. Для более точного построения графика возьмем контрольные точки. Если х=1, у=7 (1;7)

Если х= ─1, у= ─5 (─1;─5)



Задание №3:

Учебник М.И.Башмаков. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. Москва. «Академия» 2017. Занятие 6, стр. 183-186. Прочитайте и законспектируйте.

Требования к оформлению практической работы

Задание для выполнения практической работы должно быть перенесено в тетрадь для практических работ.

В тетради должно быть отражено:

  • название практической работы

  • решение заданий практической части.

  • ответы на контрольные вопросы.

2. Практическая часть

Задание: Исследовать функцию и построить ее график.


1 вариант

2 вариант


1. у = х3 - 3х2 +4


2. у = х3 – 4х


3. у = х4 - 8х2


4. y =


1. у = х3 + 3х2 -4


2. у = х3 - 12x


3. у = х4 – 2х2


4. y =


3. Контрольные вопросы

1.Какие промежутки называют промежутками монотонности функции?

2. Когда функция возрастает на промежутке?

3. Когда функция убывает на промежутке?

4. Какие точки называют точками экстремума функции?

5. Какие точки называются стационарными?

6. Сформулируйте достаточное условие существования минимума в стационарной точке.

7. Сформулируйте достаточное условие существования максимума в стационарной точке




Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!