Повторение. Тригонометрические формулы и функции. Тригонометрические уравнения и неравенства.

Дата

Тема урока: Повторение. Тригонометрические формулы и функции. Тригонометрические уравнения и неравенства.

Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме.

Ход урока

1. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Вспомним основные формулы

1. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Откройте тетради и запишите сегодняшнее число и тему урока. Выполняем письменно предложенные примеры.

Пример 1. Найти значение выражения .

Решение. Чтобы воспользоваться формулой суммы тригонометрических функций, преобразуем выражение с помощью формулы приведения:

.

Тогда

Ответ:

Пример 2. Найти значение выражения

Решение. Воспользуемся формулами приведения:

Подставим в выражение:

Пример 3. Упростите выражения:

а) ;

б) .

Решение:

а) .

б)

Ответ: а) -1, б) 1.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде

Воспользуемся формулой корней общего вида, получим:

Применим нечетность функции arcsin x:

Вычислим значение и перенесем в правую часть:

Чтобы найти значения х умножим обе части уравнения на 2, получим:

Ответ: .

Пример 5. Решить уравнение

Решим в общем виде, применив частный случай:

Разделим обе части уравнения на 3, получим:

Ответ:

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение является квадратным относительно функции и решается с помощью замены.

Замена: . При введении замены помним про ограничения для функции косинус, не может быть больше 1 и меньше -1.

Получим и решим уравнение

Его корни . Возвращаемся к замене:

Вспоминаем про ограничения на переменную и понимаем, что корень не подходит, т.е. уравнение не имеет решений.

Остается решить . Снова применим частный случай, получим:

Ответ: .

Пример 7. Решить уравнение:

Решение. Применим формулу синуса двойного угла , получим:

Вынесем общий множитель за скобку:

Решим распадающееся уравнение, запишем в виде совокупности:

Ответ: ; .

Пример 8. Решить уравнение:

Решение. Используем формулу приведения для , чтобы уравнение было относительно одной функции:

Перепишем уравнение в виде:

Далее применим формулу суммы косинусов, получим:

Снова пришли к распадающемуся уравнению, решим его:

Ответ: ; .

Пример 9. Решить уравнение:

Решение. Применим формулу синуса двойного угла, получим:

Уравнение пока еще зависит от двух функций, поэтому применим к косинусу основное тригонометрическое тождество, получим:

Тогда исходное уравнение примет вид:

Раскроем скобку, приведем подобные и умножим на « -1 »:

Получили квадратное уравнение относительно . Выполним замену:

Оба значения подходят. Вернемся к замене:

Ответ: ; .

1. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА. РЕФЛЕКСИЯ

Домашнее задание. Решить уравнение: