Практическая работа №42 «Графики элементарных функций»

Практическая работа №42 «Графики элементарных функций»

Цель работы: формировать умения строить графики элементарных функций используя их свойства.

Теоретические сведения к практической работе:

Числовая функция

Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу число у, зависящее от х.

Функции обычно обозначают латинскими буквами. Рассмотрим произвольную функцию f. Независимую переменную х называют аргументом функции. Число у, соответствующее числу х, называют значением функции f в точке х и обозначают f(х). Область определения функции f обозначают D(f). Множество, состоящее из всех чисел f(х), таких, что х принадлежит области определения функции f, называют областью значений функции и обозначают Е(f).

Графиком функции f называют множество всех точек (х; у) координатной плоскости, где у=f(х), а х «пробегает» всю область определения функции f.

График линейной функции

Линейная функция задается уравнением у=ах+b. Графиком линейной функций является прямая. Чтобы построить прямую достаточно две точки.

Пример 1. Построить график функции у=2х+1.

найдем две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать нуль. Если х=0, то у=2·0+1=1.

Берем еще какую-нибудь точку, например, 1. Если х=1, то у=2·1+1=3.

Д ве точки найдены, выполним чертеж:

При оформлении чертежа всегда подписываем графики.

Частные случаи линейной функции

1 ) Линейная функция вида у=ах (а≠0) называется прямой пропорциональностью. Например, . График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат. Таким образом, построение прямой упрощается – достаточно найти всего одну точку.

2) Уравнение вида у=b задает прямую, параллельную оси Ох, в частности, сама ось Ох задается уравнением у=0.

3) Уравнение вида х=b задает прямую, параллельную оси Оу, в частности, сама ось Оу задается уравнением х=0.

График квадратичной, кубической функции

П арабола. График квадратичной функции у=ax²+bx+c (а≠0) представляет собой параболу. Рассмотрим канонический случай: у=x². Область определения – любое действительное число. Функция у=x² является чётной. Если функция является чётной, то ее график симметричен относительно оси Оу.

Пример 2 Построить график функции у=-х²+2х.

сначала находим вершину параболы: , . Рассчитываем соответствующее значение «игрек»: у=-1²+2·1=-1+2=1. Таким образом, вершина находится в точке (1; 1).

Теперь находим другие точки, при этом пользуемся симметричностью параболы.

Выполним чертеж:

Для квадратичной функции у=ax²+bx+c (а≠0) справедливо следующее: Если a0, то ветви параболы направлены вверх. Если a

Кубическая парабола

К убическая парабола задается функцией у=х³. Область определения, область значений – любое действительное число. Функция является нечётной. График строим по точкам:

Гипербола

О бщий вид . Область определения: D(y): (-∞; 0) и (0; +∞). Область значений: E(y): (-∞; 0) и (0; +∞). Функция является нечётной, гипербола симметрична относительно начала координат.

Выполним чертеж:График функции вида (а≠0) представляют собой две ветви гиперболы.

Если а0, то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях. Если а, то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях.

Пример 3. Построить правую ветвь гиперболы .

значения х выгодно подбираем так, чтобы делилось нацело:

Выполним чертеж:

Задания для самостоятельного решения:

Построить графики функций:

Контрольные вопросы:

1. Что называется функцией?

2. Что является графиком линейной, квадратичной функций?