Практическая работа №86 «Метод интервалов»

Практическая работа №86 «Метод интервалов»

Цель работы: обобщить и систематизировать умения решать неравенства различного типа методом интервалов.

Теоретические сведения к практической работе:

Пусть заданное неравенство имеет вид: . Для решения этого неравенства используется так называемый метод интервалов, который состоит в следующем.

1. На числовую ось наносят точки х₁, , х_n разбивающие ее на промежутки, в которых выражение определено и сохраняет знак («плюс» или «минус»). Такими точками могут быть корни уравнений и . Соответствующие этим корням точки отмечают на числовой оси: закрашенными кружками – точки, удовлетворяющие заданному неравенству, а светлыми кружками – не удовлетворяющие ему.

2. Определяют и отмечают на числовой оси знак выражения для значений , принадлежащих каждому из полученных промежутков. Достаточно определить знак функции в любом таком промежутке, а в остальных промежутках знаки «плюс» и «минус» будут чередоваться.

Изменение знаков удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (кривой знаков), проведенной через отмеченные точки и лежащей выше или ниже числовой оси в соответствии со знаком дроби в рассматриваемом промежутке. Промежутки, которые содержат точки, удовлетворяющие данному неравенству, иногда покрывают штрихами. Заштрихованная область в совокупности с полученными точками будет являться ответом к неравенству:

Пример 1. Решите неравенство: .

Решение: упрощаем неравенство путем равносильных преобразований: при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный: .

Приведем дроби к общему знаменателю:

,

,

Выражения, стоящие в числителе и знаменателе, можно разложить на множители, тогда неравенство примет вид: .

Далее находим корни уравнений и .

Из первого получаем х₁=4, х₂=1. Из второго получаем х₃=2, х₄=3.

Наносим на числовую прямую получившиеся точки, причем точки х₁, х₂ обозначаем закрашенными кружочками (для них неравенство выполняется), а точки х₃, х₄ светлыми (при этих значениях, выражение, стоящее слева от знака неравенства, не имеет смысла).

Определяем теперь знаки выражения на полученных промежутках (подставляем любое значение х из каждого полученного промежутка в данное выражение), изображаем кривую знаков, заштриховываем те промежутки, на которых исходное неравенство выполняется:

Кривая знаков выражения

Итак, исходному неравенству удовлетворяют следующие значения: хЄ(-∞; 1]U(2; 3)U[4; +∞).

Пример 2. Решите неравенство: .

Решение: подкоренное выражение, как известно, не может принимать отрицательных значений, также не допускается нахождение в знаменателе дроби нуля. Следовательно, область допустимых значений данного неравенства определяется неравенством и тем условием, что .

Решаем уравнения и .

Из первого уравнения получаем, что х₁=9.

Из второго уравнения получаем, что х₂=2.

Наносим область допустимых значений неравенства и полученные точки на числовую прямую, причем эти точки будут светлыми, поскольку ни одно из значений не удовлетворяет неравенству. Сразу определяем знаки выражения в каждом из полученных промежутков и рисуем кривую знаков:

Кривая знаков выражения

Верхней стрелкой на рисунке обозначена область допустимых значений неравенства. Ответом к неравенству будет являться промежуток, соответствующий на рисунке заштрихованной области.

Ответ: хЄ[0; 2)U(9; +∞).

Задания для самостоятельного решения:

1. Решите неравенство: .

2. Решите неравенство: .

3. Решите неравенство: .

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение неравенства с одной переменной.

2. В чем суть метода интервалов?