Практическая работа "Действия над комплексными числами в тригонометрической форме"

Практическая работа № 2

Тема: Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической формах.

1. Краткие теоретические сведения

Комплексными числами называются числа вида , где a и b - действительные числа, а число , определяемое равенством , называется мнимой единицей.

Действительное число называется действительной частью комплексного числа , а действительное число - мнимой частью.

Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Модулем комплексного числа называется число :

Угол между положительной действительной осью Ох и вектором называется аргументом комплексного числа.

Значение аргумента комплексного числа можно найти так:

1) определить четверть, в которой находится комплексное число;

2) найти в этой четверти угол по формуле:

(1) или

3) найти все значения аргумента по формуле:

Пусть - модуль, а - одно из значений аргумента комплексного числа . Так как из соотношений (1) вытекает, что , , тогда

(2)

Таким образом, любое комплексное число можно записать по формуле (2), где - модуль, а - одно из значений аргумента этого числа.

Верно и обратное утверждение: если комплексное число представлено в виде (2), где , то , .

Представление комплексного числа в виде

,

где , называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Для представления комплексного числа в тригонометрической форме необходимо найти: 1) модуль этого числа; 2) одно из значений аргумента этого числа. В силу многозначности тригонометрическая форма комплексного числа также неоднозначна.

Действия над комплексными числами,

заданными в тригонометрической форме

1. Произведение комплексных чисел и находится по формуле

, т.е.

, .

Таким образом, при умножении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.

2. Частное комплексных чисел и находится по формуле

, т.е.

, .

Таким образом, при делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, а аргументы вычитаются.

3. Для возведения комплексного числа в n-ю степень используется формула

, ,

которая называется формулой Муавра.

Для извлечения корня n-й степени из комплексного числа используется формула

,

где - арифметический корень, .

Контрольные вопросы

1. Дайте определение комплексного числа (алгебраическая форма записи).

2. Что такое мнимая единица, действительная и мнимая часть комплексного числа?

3. Что такое модуль и аргумент комплексного числа, как их найти?

4. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

5. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме.

6. Запишите формулы Муавра.