Практическая работа "Применение производной к исследованию функций"

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Исследование функции и построение ее графика».

2. Закрепить и систематизировать знания по теме.

3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблицы производных элементарных функций, микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

а) Какую точку называют критической (стационарной) точкой функции?

б) Сформулируйте признак возрастания (убывания) функции.

в) Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.

г) Опишите схему исследования функции.

1. С помощью обучающей таблицы повторить план исследования функции и изучить образцы решенных примеров.

2. Выполнить задания для самоконтроля (в таблице).

3. Изучить условие заданий для практической работы.

4. Оформить отчет о работе.

Теория.

1. Схема исследования функции.

1. Найти область определения функции D(f).

2. Проверить функцию на четность и нечетность.

Найти f(-x). Если – функция четная;

Если – функция нечетная;

Если – функция ни четная ни нечетная.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Найти асимптоты графика функции.

5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы.

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7.Построить график, при необходимости найти дополнительные точки.

Экстремумы функции. Промежутки возрастания и убывания.

Определение 7. Функция называется возрастающей на промежутке , если для любых и , принадлежащих этому промежутку и таких ,что имеет место неравенство .

Определение 8. Функция называется убывающей на промежутке , если для любых и , принадлежащих этому промежутку и таких, что имеет место неравенство .

Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.

Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной:

если производная в некотором промежутке , то функция возрастает;

если же , то функция убывает в этом промежутке.

Исследование на экстремум функции

Определение 9. Точка из области определения функции называется точкой минимума этой функции, если существует такая -окрестность точки , что для всех , из этой окрестности выполняется неравенство

Определение 10. Точка из области определения функции называется точкой максимума этой функции, если существует такая -окрестность точки , что для всех , из этой окрестности выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума называются экстремальными точками (или точками экстремума) данной функции, а значения функции в этих точках - минимумом и максимумом ( или экстремумами) функции.

Точками экстремума могут служить только критические точки, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то функция имеет в точке экстремум:

-минимум, когда производная меняет свой знак с минуса на плюс;

-максимум, когда производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если же при переходе через критическую точку производная не меняет знака, то функция не имеет в точке экстремума.

Правило нахождения экстремумов функции с помощью первой производной.

1. Найти производную .

2. Найти критические точки функции , т.е. точки, в которых обращается в нуль или терпит разрыв.

3. Исследовать знак производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции .

4. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Пример. Для функции найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.

Решение.

1. Найдем производную функции .

2. Найдем критические точки, т.е. решим уравнение , .

1. Исследуем знак первой производной в некоторой окрестности каждой критической точки:

на ; на . Следовательно, возрастает на и убывает на .

Точки и - точки минимума.

Точка - точка максимума.

9. Выпуклость функции. Точки перегиба.

Определение 11. Кривая называется выпуклой вниз в промежутке , если она лежит выше любой касательной в любой точке этого промежутка.

Определение 12. Кривая называется выпуклой вверх в промежутке , если она лежит ниже любой касательной в любой точке этого промежутка.

Определение 13. Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

Выпуклость вверх или вниз кривой, являющейся графиком функции , характеризуется знаком ее второй производной:

-если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз в этом промежутке;

- если в некотором промежутке , то кривая выпукла вверх в этом промежутке.

Определение 14. Точка графика функции , разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений графика, называется точкой перегиба.

Точками перегиба могут служить только критические точки, принадлежащие области определения функции , в которых вторая производная обращается в нуль или терпит разрыв.

Если при переходе через критическую точку вторая производная меняет знак, то график функции имеет точку перегиба .

Правило нахождения точек перегиба графика функции .

1. Найти вторую производную .

2. Найти критические точки функции , в которых обращается в нуль или терпит разрыв.

3. Исследовать знак второй производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции . Если при этом критическая точка разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то является абсциссой точки перегиба функции.

4. Вычислить значения функции в точках перегиба.

Пример. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.

Решение.

1. Найдем первую и вторую производную:

; .

1. Найдем критические точки для второй производной:

, .

1. Выясним знак у в окрестности каждой точки:

при , следовательно график функции на этих промежутках обращен выпуклостью вниз;

при , следовательно график функции на этом промежутке обращен выпуклостью вверх.

1. Абсциссы точек перегиба . Найдем значения функции при .

, и

Таким образом, точки перегиба .

10. Асимптоты графика функции.

Определение 15. Прямая L называется асимптотой кривой , если расстояние точки M(x;y) кривой от прямой L стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат

(т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).

Определение 16. Прямая называется наклонной асимптотой кривой при , если

где - угловой коэффициент наклонной асимптоты

и - начальная ордината асимптоты.

Аналогично определяется и находится асимптота кривой при .

Определение 17. Асимптота, определяемая уравнением , называется горизонтальной асимптотой.

Определение 18. Прямая называется вертикальной асимптотой, если или .

Для определения вертикальных асимптот надо отыскать те значения х, вблизи которых функция неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода данной функции.

Пример. Найти асимптоты кривой .

Решение.Так как , , то прямая - вертикальная асимптота.

,

.

Итак, прямая - наклонная асимптота данной функции при .

Таким образом функция имеет вертикальную асимптоту и наклонную асимптоту .

ОБУЧАЮЩАЯ ТАБЛИЦА

Задание. Исследуйте и постройте графики функции:

а) ; б) .

Пример. Построить график функции .

1. Область определения функции - вся числовая прямая, кроме .

2. - нечетная функция, так как . Поэтому для построения графика функции достаточно исследовать ее для , а затем отобразить симметрично относительно начала координат.

3. График функции пересекает оси координат только в точке (0;0).

Точки разбивают

1. Так как и , то прямые и являются вертикальными асимптотами. А так как ,

, то график данной функции имеет асимптоту .

1. Найдем производную:

. Она существует во всех точках числовой прямой, кроме и равна нулю в точках .

Поэтому критическими точками функции будут:

числовую прямую на четыре интервала: .

, , , , .

Изучим поведение в окрестности каждой критической точки. Вследствие нечетности достаточно рассмотреть знак на промежутках . Результаты исследования запишем в таблицу:

В точках и функция не имеет экстремума, так как эти точки не принадлежат области определения данной функции.

В силу нечетности функции можно утверждать, что при данная функция имеет максимум.

6) Чтобы исследовать график функции на выпуклость, найдем вторую производную:

и критические точки данной функции (по второй производной): при и не существует при . Однако точки не принадлежат области определения функции, поэтому точа перегиба может быть только в точке с абсциссой .

Исследуем знак второй производной и результаты исследования запишем в таблицу:

1. На основе проведенного исследования построим график функции.

Примеры. Исследуйте и постройте графики функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) .

Задания для самостоятельного решения:

1. Исследуйте функцию на максимум и минимум.

2. Исследуйте с помощью производной функцию и постройте ее график.

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте определение возрастающей и убывающей функции.

2.Чем можно охарактеризовать возрастание и убывание функции?

Поясните в каком случае функция возрастающая, а в каком убывающая.

3.Определите какие точки называются точками экстремума, (точки максимума и точки минимума).

4.Перечислите этапы нахождения промежутков монотонности и точек экстремума.

5.Дайте определение кривых выпуклых вверх и вниз.

6.Сформулируйте правило нахождения промежутков выпуклости графика функции.

7.Какие точки называются точками перегиба. Сформулируйте правило нахождения точек перегиба.

8. Что такое асимптота?

9. Каких видов бывают асимптоты?

10.Сформулируйте определение наклонной асимптоты.

11. Что такое вертикальная асимптота?

12.Дайте определение горизонтальной асимптоты.

1.Перечислите этапы исследования функции.

18.Как проверить функцию на четность или нечетность.

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.

Вариант 1.

1. Исследуйте функцию на возрастание и убывание функции и точки экстремума.

2. Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке , =-1

3. Точка движется прямолинейно по закону . Найти значение скорости и ускорения в момент времени 2c. Кинетическую энергию, если масса тела равна 4 кг.

4. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке =-1

5.Исследовать на выпуклость и точки перегиба функции:

Вариант 2.

1. Исследуйте функцию на возрастание и убывание функции и точки экстремума.

2. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке =-3

3. Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке , =2

4. Точка движется прямолинейно по закону . Найти значение скорости и ускорения в момент времени c. Кинетическую энергию, если масса тела равна 3 кг.

5. Исследовать на выпуклость и точки перегиба функцию:

Вариант 3.

1. Исследуйте функцию на максимум и минимум.

2. Исследуйте на выпуклость и точки перегиба функцию

3. Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке , =3

4. Точка движется прямолинейно по закону . Найти значение скорости и ускорения в момент времени c. Кинетическую энергию, если масса тела равна 5 кг.

5. Найти тангенс угла наклона в точке =-1

Вариант 4.

1. Исследуйте функцию на максимум и минимум.

2. Исследуйте на выпуклость и точки перегиба функцию

3. Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке , =-1

4. Точка движется прямолинейно по закону . Найти значение скорости и ускорения в момент времени c. Кинетическую энергию, если масса тела равна 3 кг.

5. Найти тангенс угла наклона в точке =3

Вариант 5.

1. Исследуйте функцию на максимум и минимум.

2. Исследуйте на выпуклость и точки перегиба функцию .

3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к кривой , в точке .

4. Точка движется прямолинейно по закону . Найти значение скорости и ускорения в момент времени c. Кинетическую энергию, если масса тела равна 5 кг.

5. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке =-1

Вариант 6.

1. Исследуйте функцию на максимум и минимум.

2. Исследуйте на выпуклость и точки перегиба функцию .

3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к кривой , в точке .

4. Точка движется прямолинейно по закону . Найти значение скорости и ускорения в момент времени c. Кинетическую энергию, если масса тела равна 4 кг.

5. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке =-1

Вариант 7.

1. Исследуйте функцию на максимум и минимум.

2. Исследуйте на выпуклость и точки перегиба функцию .

3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к кривой , в точке .

4. Точка движется прямолинейно по закону . Найти значение скорости и ускорения в момент времени c. Кинетическую энергию, если масса тела равна 2 кг.

5. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке =-1

Вариант 8.

1. Исследуйте функцию на максимум и минимум.

2. Исследуйте на выпуклость и точки перегиба функцию

3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к кривой , в точке .

4. Точка движется прямолинейно по закону . Найти значение скорости и ускорения в момент времени c. Кинетическую энергию, если масса тела равна 4 кг.

5. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке =-1