Практическое занятие
Тема: «Производная и ее приложения».
Наименование работы: «Решение прикладных задач в области профессиональной деятельности с применением производной и на построение графиков функций».
Цель: формирование умений исследовать функции при помощи производной, применять производную при решении задач на максимум и минимум.
Содержание
Часть 1. Теоретическая
Возрастание и убывание функции
Функция называется возрастающей в промежутке , если для любых и , принадлежащих этому промежутку и таких, что , имеет место неравенство .
Функция называется убывающей в промежутке , если для любых и , принадлежащих этому промежутку и таких, что , имеет место неравенство .
Как возрастающие , так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.
Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной:
- если в некотором промежутке , то функция возрастает в этом промежутке;
- если в некотором промежутке , то функция убывает в этом промежутке.
Пример: Найти промежутки монотонности следующих функций:
а) б)
а) Находим производную: , имеем .
Последующие рассуждения представим в таблице:
Таким образом, данная функция в промежутке убывает,
а в промежутке возрастает.
б)
Составим таблицу:
Итак, в промежутках и функция возрастает, а в промежутке - убывает.
Исследование функции на экстремум с помощью первой производной
Точка из области определения функции называется точкой минимума этой функции, если существует такая – окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство
Точка из области определения функции называется точкой максимума этой функции, если существует такая – окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – минимумом и максимумом (или экстремумами) функции.
Точками экстремумами могут служить только критические точки, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.
Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то функция имеет в точке экстремум: минимум в том случае, когда производная меняет знак с минуса на плюс, и максимум – когда с плюса на минус. Если же при переходе через критическую точку производная не меняет знака, то функция в точке не имеет экстремума.
Правило нахождения экстремумов функции с помощью первой производной
Найти производную .
Найти критические точки функции , т.е. точки в которых обращается в нуль или терпит разрыв.
Исследовать знак производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции . При этом критическая точка есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором , от промежутка, в котором , и точка максимума – в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой , знак производной не меняется, то в точке функция экстремума не имеет.
Вычислить значения функции в точках экстремума
Пример: Исследовать на экстремум следующие функции:
а) б)
а) Находим , приравняем производную к нулю, имеем . Получим единственную критическую точку .
Последующие рассуждения представим в таблице:
График функции есть парабола. Точка минимума (2;-4) является вершиной параболы.
б) Находим , приравняем производную к нулю, имеем . Получим две критические точки и .
Последующие рассуждения представим в таблице:
| | 0 | | 2 | |
| + | 0 | - | 0 | + |
| | Максимум | | Минимум | |
Наименьшее и наибольшее значения функции
Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо:
Найти критические точки, принадлежащие заданному промежутку, и вычислить значения функции в этих точках;
Найти значения функции на концах промежутка;
Сравнить полученные значения; тогда наименьшее и наибольшее из них являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции в рассматриваемом промежутке.
Пример: Найти наименьшее и наибольшее значение функции в промежутке .
Имеем ; 2 , т.е. - критическая точка. Находим ; далее, вычисляем значения функции на концах промежутка: , .
Итак, наименьшее значение функции равно - 1 и достигается ею во внутренней точке промежутка, а наибольшее значение равно 3 и достигается на левом конце промежутка.
Построение графиков функций
Общая схема построения графиков функций
Найти область определения функции.
Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.
Найти точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений).
Найти асимптоты графика функции.
Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.
Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.
Построить график, используя полученные результаты исследования.
Пример: Построить график функции .
Функция определена на всей числовой прямой, т.е. .
Данная функция не является ни четной, ни нечетной; кроме того, она не является периодической.
Найдем точку пересечения графика с осью : полагая , получим . Точки пересечения графика с осью в данном случае найти затруднительно.
Очевидно, что график функции не имеет асимптот.
Найдем производную: . Далее, имеем .
Точки и делят область определения функции на три промежутка: , , . В промежутках и , то есть функция возрастает, а в промежутке , то есть функция убывает. При переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку - с минуса на плюс. Значит, .
Найдем вторую производную: . Точка делит область определения функции на два промежутка и . В первом из них , а во втором
, то есть в промежутке кривая выпукла вверх, а в промежутке выпукла вниз. Таким образом, получим точку перегиба (2;-1).
Используя полученные данные, строим искомый график.
Часть 2. Практическая
Задание: Исследовать функцию y = f(x). Построить график функции y = f(x).
№ | Задание | № | Задание |
1 | y = | 6 | y = |
2 | y = | 7 | y = |
3 | y = | 8 | y = |
4 | y = + | 9 | y = |
5 | y = 12x - | 10 | у = |
Вопросы к практическому занятию
Функция называется возрастающей в промежутке, если…
Функция называется убывающей в промежутке, если...
Что называется точкой минимума функции?
Что называется точкой максимума?
Что называется точками экстремума?
Сформируйте правило нахождения экстремумов функции с помощью первой производной.
Что необходимо сделать для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной в некотором промежутке?
Назовите общую схему построения графиков функций.