Практическая работа Делимость чисел 5 класс

Практическая работа

Делимость чисел

Теоретический материал

Общим делителем нескольких чисел называется число, которое является делителем каждого из них. Например, числа  36,  60,  42 имеют общие делители 2, 3 и 6. Среди всех общих делителей всегда есть наибольший, в данном случае это 6. Это и есть наибольший общий делитель (НОД).

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел надо:

1)  представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 ,

2)  записать степени всех простых множителей:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3² · 5¹,

3)  выписать все общие делители (множители) этих чисел;

4)  выбрать наименьшую степень каждого из них, встретившуюся во всех произведениях;

5)  перемножить эти степени.

П р и м е р .  Найти НОД чисел: 168, 180 и 3024.

Р е ш е н и е .   168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2³  · 3¹  · 7¹ ,

                          180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2²  · 3²  · 5¹ ,

                          3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2⁴  · 3³  · 7¹ .

                          Выпишем наименьшие степени общих делителей 2 и 3

                          и перемножим их:

НОД = 2²  · 3¹  = 12 .

 Если у нескольких чисел нет общих делителей кроме единицы, то эти  числа называются взаимно простыми.  
        Например:    
                  у чисел     5 и 8 ,     11 и 18 ,     16 и 27     (НОД) равен   1 .  

Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например, числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное180. Но 90 и 360 – тоже их общие кратные. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК).

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел надо:

 1)  представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,

2)  записать степени всех простых множителей:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 2³ · 3² · 7¹,

3)  выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;       

4)  выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;

5)  перемножить эти степени.

П р и м е р .  Найти НОК чисел: 168, 180 и 3024.

Р е ш е н и е . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2³ · 3¹ · 7¹ ,

                        180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2² · 3² · 5¹ ,

                        3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2⁴  · 3³  · 7¹ .

                        Выписываем наибольшие степени всех простых делителей

                        и перемножаем их:

НОК = 2⁴ · 3³ · 5¹ · 7¹ = 15120 .

Чтобы разложить число на простые множите­ли, надо последовательно проверять, делится ли оно на 2, 3, 5, 7 и т. д. При этом делимость на 2, 3 и 5 устанавливают с помощью признаков, а делимость на 7, 11, 13 и т. д. — непосредственно делением.

Например:

Решение удобно записывать так:

1716=

=2•858 =

= 2 • (2 • 429) =

=2•2• (3• 143)=

= 2 • 2 • 3 • (11 • 13) =

=2²•3•11 • 13

1716=2² • 3 • 11 • 13

Признаки делимости натуральных чисел

• Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

• Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

• Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 2.

• Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда , когда его последняя цифра либо 0, либо 5.

• Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда , когда его последняя цифра 0.

• Натуральное число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4 тогда и только тогда , когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа.

• Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

• Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

1. Найдите наибольший общий делитель пары чисел и запишите ответ с помощью обозначения НОД

а) 6 и 8; б) 14 и 21

в) 10 и 15; г) 10 и 20.

д) 8 и 20; е) 9 и 8.

ж) 12 и 18 з) 27 и 18

2. Найдите наименьшее общее кратное данных чисел и запишите ответ с помощью обозначения НОК

а) 50 и 10; в) 10 и 80;

б) 28 и 7; г) 25 и 75.

3. Найдите наименьшее общее кратное данных чисел и запишите ответ с помощью обозначения НОК

а) 2, 3 и 6; в) 2, 4 и 6;

б) 3, 5 и 15; г) 3, 4 и 6.

4. Найдите НОК данных чисел:

а) 6, 12 и 30; в) 3, 5 и 18;

б) 12, 15 и 20; г) 6, 9 и 10.

5. Разложите на простые множители число

а) 42; б) 66; в) 110; г) 130.

1. Какое число представлено в виде произведения про­стых множителей:

а) 2 • 3 • 13; в) 2² • 3 • 5;

б) 2 • 5 • 29; г) 2 • З² • 7?

7. Разложите на простые множители число

а) 1890 ; б) 312; в) 252; г) 510.