Практические задания по математике

Практические задания по математике для студентов 1 курса по

ОУД(б).04 Математика

Специальность: 35.02.14 Охотоведение и звероводство

Перечень практических занятий

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №1.

ТЕМА: Арифметические действия над числами

Цель работы: Использование определений и правил арифметических действий над числами.

Вариант 1.

1.Представить обыкновенную дробь в виде десятичной периодической:

1) 2) 3)

2. Представить периодическую дробь в виде обыкновенной:

1) 0,(28); 2) 2,5(3); 3) 0,2(13)

3.Вычислить:

Вариант 2.

1.Представить обыкновенную дробь в виде десятичной периодической:

1) 2) 3)

2. Представить периодическую дробь в виде обыкновенной:

1) 0,(12); 2) 5,7(8); 3) 0,2(35)

3.Вычислить:

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №2.

ТЕМА: Преобразование выражений, содержащих степени.

Цель работы: Применение определения и правил действия со степенями.

1 вариант

1. Вычислить: а) ; б) ; в) ;

г)

2. Представить в виде степени с рациональным показателем:

а) ; б) ;

3. Вычислить: а) ; б) ;

4. Сравнить числа: а)или ; б)или ; в) или

г) или

2 вариант

1. Вычислить: а) ; б) ; в) ;

г)

2. Представить в виде степени с рациональным показателем:

а) ; б)

3. Вычислить: а) ; б) ;

4. Сравнить числа: а)или ; б)или ; в) или ;

г) или

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №3.

Тема. Решение показательных уравнений.

Цель работы: Применение правил действий над числами и степенями при решении уравнений

Найдите корень уравнения:

1. 

2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №4.

3. ТЕМА: Вычисление и сравнение логарифмов.

4. Цель: Использование определения и свойств логарифмов.

5. 1 вариант.

6. 1. Вычислить: а) ; б) ;

7. в)

8. 2. Найти х по данному логарифму :

9. 3. Прологарифмировать выражение:

10. 4. Решить уравнение:

11. 5. При каких значениях х имеет смысл выражение:

13. 2 вариант.

14. 1. Вычислить: а) ; б) ;

15. в)

16. 2. Найти х по данному логарифму:

17. 3. Прологарифмировать выражение:

18. 4. Решить уравнение:

19. 5. При каких значениях х имеет смысл выражение:

21. 3 вариант.

22. 1. Вычислить: а) ; б) ;

23. в)

24. 2. Найти х по данному логарифму:

25. 3. Прологарифмировать выражение:

26. 4. Решить уравнение:

27. 5. При каких значениях х имеет смысл выражение:

28. 4 вариант.

29. 1. Вычислить: а) ; б) ;

30. в)

31. 2. Найти х по данному логарифму:

32. 3. Прологарифмировать выражение:

33. 4. Решить уравнение:

34. _{5. При каких значениях х имеет смысл выражение:}

35. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №5

36. ТЕМА: Решение логарифмических уравнений.

37. Цель: Уметь использовать свойства логарифмической функции при решении логарифмических уравнений.

1. 1 вариант.

2. 1. Решить уравнения:

4. 2. Найти корень уравнения:

1. =7

2. =2

3. =4

2. 2 вариант.

3. 1. Решить уравнения:

5. 2. Найти корень уравнения:

1. =2

2. =5

3. =3

1. Дополнительное задание:

1. 3. Решить уравнения:

4. 3. Решить уравнения:

2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №6

3. ТЕМА: Радианный метод измерения углов вращения и связь с градусной мерой

4. Цель: Уметь переводить радианную меру в градусную и наоборот, определять знаки тригонометрических функций.

1. 1 вариант.

2. 1.Найти радианную меру углов:

3. 45⁰; 60⁰; 90⁰; 120⁰;

4. 2.Найти градусную меру угла:

5. ; ; ; ;

6. 3.Какие знаки имеют:

7. cos 150⁰; sin 320⁰; tg 220⁰ ;ctg 400⁰;

8. 2 вариант.

9. 1.Найти радианную меру углов:

10. 150⁰; 180⁰; 210⁰; 240⁰;

11. 2.Найти градусную меру угла:

12. ; ; ; ;

13. 3.Какие знаки имеют:

14. sin 60⁰; cos 200⁰; tg 45⁰ ; ctg 100⁰;

1. 3 вариант.

2. 1.Найти радианную меру углов:

3. 315⁰; 36⁰; 72; 310⁰;

4. 2.Найти градусную меру угла:

5. ; ; ; ;

6. 3.Какие знаки имеют:

7. sin 170⁰; cos 300⁰; tg 160⁰ ; ctg 315⁰;

1. вариант.

1. 1.Найти радианную меру углов:

2. 135⁰; 270⁰; 216⁰; 330⁰.

3. 2.Найти градусную меру угла:

4. ; ; ; .

5. 3.Какие знаки имеют:

6. cos 29⁰; ctg 237⁰; sin 210⁰; tg 654⁰.

2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №7.

3. ТЕМА: Основные тригонометрические тождества.

4. Цель: Уметь применять основные тригонометрические тождества для нахождения значений тригонометрических функций, упрощения выражений, доказательства тождеств.

5. 1 вариант

1. Найти cos , tg , ctg , если sin .

2. Упростите выражение:

1. 1– sin²;

1. Докажите тождество:

1. 1+ sin + cos + tg = (1 + cos ) (1+ tg );

3. 2 вариант

1. Найти sin , tg , ctg , если cos.

2. Упростите выражение:

   1. cos )(1 + cos );

3. Докажите тождество:

1. вариант

1. Найти sin , tg , ctg , если cos.

2. Упростите выражение:

1. 1+ sin² + cos ²;

1. Докажите тождество:

1. (ctg + 1 )² + (ctg - 1)² =

1. вариант

1. Найти cos , tg , ctg , если sin .

2. Упростите выражения:

1. tg² - sin² tg²;

1. Докажите тождества:

1. 1 + sin + cos + tg = (1 + cos ) (1+ tg );

3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №8.

4. ТЕМА: Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и обратно.

5. Цель: Уметь применять формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и обратно для упрощения и вычисления выражений.

6. 1 вариант

7. 1.Представить произведение тригонометрических функций в виде суммы:

8. ;

9. 2.Представить сумму тригонометрических функций в виде произведения:

10. _а); б) ;

11. 3.Вычислить:

12. _а) tg 405⁰; б) 2sin 750⁰; в) tg(-135⁰) - tg 225⁰;

13. 3.Найти период функции: у = ctg ;

14. 2 вариант

15. 1.Представить произведение тригонометрических функций в виде суммы:

16. .

17. 2.Представить сумму тригонометрических функций в виде произведения:

18. а); б) ;

19. 3.Вычислить:

20. а)sin 1843⁰; б) cos 7230⁰; в) 3cos900⁰ + tg405⁰;

21. 4.Найти период функции: у = tg 2х;

23. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №9.

24. ТЕМА: «Простейшие тригонометрических уравнения и неравенства»

25. Цель работы: Закрепить навыки решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств; усвоить алгоритмы решения основных типов тригонометрических уравнений и неравенств.

26. Вариант 1	Вариант 2
    Решите уравнения: а) sin3x= 1/2 б) cos2x = -1/2 в) cos(x –π/4) = 1 2.Решите неравенства: а) б)	Решите уравнения: а) sin2x= -1/2 б) cos4x = 1/2 в) sin(x + π/4) = - 1 2.Решите неравенства: а) б)

28. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №10.

29. ТЕМА: «Определение функций. Построение и чтение графиков функций»

30. Цель работы: систематизировать знания по теме; развивать навыки построения графиков функций.

    I вариант		II вариант
    1. Контрольные вопросы
    а) что называется возрастающей и убывающей функцией? б) привести примеры возрастающей логарифмической функции; в) привести примеры убывающей логарифмической функции; г) привести примеры возрастающей показательной функции; д) привести примеры убывающей показательной функции.
    2. В одной системе координат построить графики следующих функций:
    Построить на чертежах прямую х=у (биссектрису 1 и 3 координатных углов) и сделать вывод о симметрии построенных графиков.
    3. Решить графически уравнение:
    4. Построить график функции и описать его свойства (единичный отрезок – 2 клетки):
    1) ; 2) ;	3) ; 4) .

33. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №11.

34. ТЕМА: «Преобразования графика функции»

35. Цель работы: - сформировать навык построения тригонометрических функций;

36. - изучить такие преобразования тригонометрических функций, как сдвиг относительно Ох и Оу и растяжение относительно Оу.

    I вариант	II вариант
    1. Контрольные вопросы
    а) свойства тригонометрических функций , ; б) свойства тригонометрических функций , ; в) что такое нули функции?
    2. Построить графики функций:
    1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;	1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

38. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №12.

39. ТЕМА: «Прикладные задачи»

40. Цель работы: использовать практические навыки построения графиков при решении уравнений.

42. Вариант 1

43. Решить графически уравнение:

    1) ;	3) ;	5) ;
    2)	4) ;	6) ;

45. Вариант 2

46. Решить графически уравнение:

    1) ;	3) ;	5) ;
    2) ;	4) ;	6) ;

48. Вариант 3

49. Решить графически уравнение:

50. 1) ;	3) ;	5) ;
    2) ;	4) ;	6) ;

52. Вариант 4

53. Решить графически уравнение:

    1) ;	3) ;	5) ;
    2) ;	4) ;	6) ;

55. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №13.

56. ТЕМА: «Предел последовательности».

57. Цель работы: выработать практические навыки вычисления пределов последовательностей при решении тестовых заданий.

59. Вариант 1

60. 1.Найдите сумму геометрической прогрессии 25, -5,1,…

61. 1)30; 2); 3)125; 4)25.

62. 2.Найдите сумму геометрической прогрессии если b₁= -1; q=0,2.

63. 1); 2) ; 3)0,8; 4)10.

64. 3.Вычислите пределы числовых последовательностей:

65. 

66. 1)6; 2) 2; 3)0; 4).

67. 

1. -2; 2) ; 3)2; 4)6.

1. 

2. 1)0; 2); 3) ; 4) .

4. Вариант 2

5. 1.Найдите сумму геометрической прогрессии -16,8,-4,…;

6. 1); 2)-24; 3) ; 4).

7. 2.Найдите сумму геометрической прогрессии если ;

8. 1)13; 2)30; 3) 33; 4) .

9. 3.Вычислите пределы числовых последовательностей:

11. ;

12. 1)4; 2)0; 3)-4; 4) .

14. ;

15. 1)-2; 2)0; 3) ; 4).

16. ;

17. 1)0; 2); 3) ; 4) 4.

19. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №14.

20. ТЕМА: Правила и формулы дифференцирования.

21. Цель работы: уметь использовать правила и формулы дифференцирования при нахождении производной

1. 1 вариант

2. Найти производную от функций:

1. у = 2 − х + х².

2. х².

3. у =.

4. у = (х + 4) (х - 9).

5. у = tgx.

6. 

7. у =.

2. 2 вариант

3. Найти производную от функций:

1. у = 7+5 х - х².

2. Х³.

3. у =.

4. у = (х - 9) (х +3).

5. у =ctgx.

6. 

7. у =.

2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №15.

3. ТЕМА Исследование функции с помощью производной.

4. Цель работы: Научиться исследовать функций с помощью производной, схематически изображать графики этих функций.

5. 1 вариант

6. 1.Определить промежутки возрастания и убывания функции y=f(x), используя данные о её производной (см. таблицу)

7. x	(-; -8)	-8	(-8;0)	0	(0;8)	8	(8;)
   	-	0	+	0	-	0	+

8. 2. По графику функции найдите точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение функции.

9. 

10. 3. Найти промежутки возрастания и убывания функции. Точки экстремума.

11. f(x) = x³+x²+16

12. 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

13. f(x) = x⁴-2x²+3 на отрезке [-4;3]

15. 2 вариант

16. 1. Укажите точки максимума и точки минимума функции y=f(x), если данные о её производной указаны в таблице:

17. x	(-; -1)	-1	(-1;0)	0	(0;3)	3	(3;6)	6	(6;)
    	-	0	+	0	-	0	+	0	-

19. 2. По графику функции найдите промежутки, при которых f^’(x)0. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции.

20. 

21. 3. Найти промежутки возрастания и убывания функции. Точки экстремума.

22. f(x) =x³ +4x²-37

23. 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

24. f(x) = x⁴–8x² +5 на отрезке [-3;2]

25. 3 вариант

26. 1. Определить промежутки возрастания функции y=f(x), используя данные о её производной (см. таблицу)

    x	(-; 7)	7	(7;6)	6	(6;25)	25	(25;)
    	+	0	-	0	+	0	-

28. 2. По графику функции найдите точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение функции.

29. 

30. 3. Найти промежутки возрастания и убывания функции. Точки экстремума.

31. f(x) = 2x⁴–4x² +15

32. 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

33. f(x) =x³-6x²+9 на отрезке [-2;2]

34. 4 вариант

35. 1. Укажите точки максимума и точки минимума функции y=f(x), если данные о её производной указаны в таблице:

36. x	(-; -2,5)	-2,5	(-2,5;0)	0	(0;10)	0	(10;)
    	+	0	-	0	+	0	-

38. 2. По графику функции найдите промежутки, при которых f^’(x)

40. 

41. 3. Найти промежутки возрастания и убывания функции. Точки экстремума.

42. f(x) = x⁴–8x²

43. 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

44. f(x) =x³+6x²+9x на отрезке [-4;0]

46. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №16.

47. ТЕМА: Нахождение наибольшего, наименьшего значения.

48. Цель работы: Уметь использовать алгоритм нахождения наибольшего, наименьшего значения функции на заданном отрезке.

49. 1 вариант

50. 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

51. f(x) =x³-6x²+9 на отрезке [-2;2]

52. 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

53. f(x) = x⁴-2x²+3 на отрезке [-4;3]

55. 2 вариант

56. 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

57. f(x) =x³+6x²+9x на отрезке [-4;0]

58. 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

59. f(x) = x⁴–8x² +5 на отрезке [-3;2]

61. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №17

62. ТЕМА: Интеграл и первообразная.

63. Цель: сформировать навыки нахождения первообразных и неопределенных интегралов.

64. Вариант 1

65. 1.Найти первообразную следующих функций:

66. а) f (x) = 4х – 6х² + 1; б) f (x) = 2 – х⁴;

67. 2.Найти следующие интегралы:

68. _а)5dх; б) (2х²-5х³+7х-3)dx; в)

69. Вариант 2

70. 1.Найти первообразную следующих функций:

71. а) f (x) = 3х² – 2х + 4; б) f (x) = -3;

72. 2.Найти следующие интегралы:

73. _а) х⁴dx; б) dх; в) (5х⁴-4х²+2х-1)dx

74. Вариант 3

75. 1.Найти первообразную следующих функций:

76. а) f (x) = 6х – х⁵ – 20; б) f (x) = 10;

77. 2.Найти следующие интегралы:

78. _а)5хdx; б) (6х²+5х³-4х+2)dx в) dx

79. Вариант 4

80. 1.Найти первообразную следующих функций:

81. а) f (x) = 3х² – 2х + 4; б) f (x) = 3х;

82. 2.Найти следующие интегралы:

83. _а)6х²dx ; б) (х²-х+5)dx; в) dх;

84. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №18

85. ТЕМА: Применение интеграла к вычислению физических величин и площадей.

86. Цель: Использовать понятие определенного интеграла при вычислении физических величин и площадей.

87. 1 вариант

88. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

89. а) параболой у = х² – 4х +3 и осью Ох.

90. б) параболой у = 6 х - х² и прямой у = х - 4 .

91. в) графиком функции у = sin x , и отрезком [ π ; 2π] оси Ох.

93. 2 вариант

94. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

95. а) параболой у = 4 - х² и осью Ох.

96. б) параболой у = х² + 1 и прямой у = 3 - х .

97. в) графиком функции у = cos x и отрезком [ ] оси Ох.

99. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №19.

100. ТЕМА: «Преобразование уравнений»

101. Цель работы: уметь решать простейшие иррациональные, показательные и логарифмические уравнения.

102. 1 вариант

103. 1. Решите уравнение .

104. 2. Решите уравнение .

105. 3. Решите уравнение .

106. 4. Решите уравнение .

107. 2 вариант

108. 1. Решите уравнение .

109. 2. Решите уравнение .

110. 3. Решите уравнение .

111. 4. Решите уравнение .

112. 3 вариант

113. 1. Решите уравнение .

114. 2. Решите уравнение .

115. 3. Решите уравнение .

116. 4. Решите уравнение .

117. 4 вариант

118. 1. Решите уравнение .

119. 2. Решите уравнение .

120. 3. Решите уравнение .

121. 4. Решите уравнение .

123. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №20.

124. ТЕМА: « Основные приемы решения уравнений»

125. Цель работы: - изучить основные приемы решения различных тригонометрических уравнений;

     I вариант	II вариант
     1. Решить уравнение, сделав подстановку:
     1) ; 2) ; 3) ; 4) ;	1) ; 2) ; 3) ; 4) .
     2. Решить уравнение методом разложения на множители:
     1) ; 2) ;	1) ; 2) .
     3. Решите уравнение, упростив левую часть:
     1) ; 2) ; 3) ;	1) ; 2) ; 3) .
     4. Решите уравнение, используя однородность:
     1) ; 2) ; 3) ;	1) ; 2) ; 3) .

127. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №21.

128. ТЕМА: «Решение систем уравнений»

129. Цель работы: Сформировать навыки решения систем иррациональных, показательных и логарифмических уравнений.

130. 1 вариант

132. 1. Решите систему уравнений

133. 2. Решите систему уравнений

134. 3. Решите систему уравнений

136. 2 вариант

137. 1. Решите систему уравнений

138. 2. Решите систему уравнений

139. 3. Решите систему уравнений

141. 3 вариант

142. 1. Решите систему уравнений

143. 2. Решите систему уравнений

144. 3. Решите систему уравнений

145. 4 вариант

146. 1. Решите систему уравнений

147. 2. Решите систему уравнений

148. 3. Решите систему уравнений

150. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №22.

151. ТЕМА: «Использование свойств и графиков функций для решения уравнений и неравенств»

152. Цель работы: Уметь использовать свойства и графики функций для решения уравнений и неравенств.

153. 1 вариант

1. Решить неравенство методом интервалов:

1. Решить иррациональное неравенство:

1. Решить показательное неравенство:

1. Решить логарифмические неравенства:

3. 2 вариант

1. Решить неравенство методом интервалов:

1. Решить иррациональное неравенство:

1. Решить показательное неравенство:

1. Решить логарифмические неравенства:

3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №23.

4. ТЕМА: «Решение комбинаторных задач»

5. Цель работы: Уметь использовать формулы комбинаторики, метод перебора при решении комбинаторных задач

6. 1 вариант

7. 1. Решите уравнение:

8. 2. Бригадир должен отправить на работу бригаду из 3-х человек. Сколько таких бригад можно составить из 8 человек?

9. 3. Брошена игральная кость. Найти вероятность:

10. а) появления четного числа очков;

11. б) появления не больше двух очков.

12. 4. В партии из 15 деталей имеется 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад деталей 3 стандартные.

14. 2 вариант

15. 1. Решите уравнение:

16. 2. Сколькими способами можно расставить 6 томов энциклопедии, чтобы они стояли в беспорядке?

17. 3. В урне 5 белых и 10 черных шаров. Из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется:

18. а) черным;

19. б) белым.

20. 4. Первенство по футболу оспаривают 20 команд, среди которых 7 лидирующих. Путем жеребьевки команды распределяются на две группы по 10 команд в каждой. Какова вероятность попадания всех лидирующих команд в одну группу?

21. 3 вариант

22. 1. Решите уравнение:

23. 2. Из 10 кандидатов нужно выбрать 3-х на конференцию. Сколькими способами это можно сделать?

24. 3. Брошена игральная кость. Найти вероятность:

25. а) появления четного числа очков;

26. б) появления не больше трех очков.

27. 4. Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.

28. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №24.

29. ТЕМА: « Размещения, сочетания, перестановки»

30. Цель работы: Уметь применять формулы размещений, сочетаний, перестановок.

31. 1 вариант

32. 1. Вычислить: а) ; б) ; в) .

33. 2. Сколькими способами можно расставлять на одной полке 8 различных книг?

34. 3. Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов?

35. 4. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?

36. 2 вариант

37. 1. Вычислите: а) ; б) ; в)

38. 2. В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?

39. 3. На факультете изучается 16 предметов. На понедельник нужно в расписание поставить 3 предмета. Сколькими способами можно это сделать?

40. 4. Из 15 объектов нужно отобрать 10 объектов. Сколькими способами это можно сделать?

1. вариант

1. 1.Вычислите: 1) 3) 5!-3!

2. 2. Сколькими способами можно выбрать 4 марки для конвертов?

3. 3.У нас есть 9 разных книг из серии «Занимательная математика». Сколькими способами можно расставить их на полке

4. 4.Студенты колледжа изучают в каждом семестре по десять дисциплин. В расписание занятий включается каждый день по 3 дисциплины. Сколько различных расписаний можно составить диспетчерская?

1. вариант

1. 1.Вычислите: 1) 3) 5!-3!

2. 2.Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 5, 7?

3. 3.Сколькими способами из 10-ти различных книг можно выбрать 4?

4. 4.Студенты колледжа изучают в каждом семестре по десять дисциплин. В расписание занятий включается каждый день по 3 дисциплины. Сколько различных расписаний можно составить диспетчерская?

6. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №25.

7. ТЕМА: «Бином Ньютона и треугольник Паскаля. Прикладные задачи»

8. Цель работы: Уметь производить разложение бинома, используя треугольник Паскаля.

9. 1 вариант

1. Записать разложение бинома, используя треугольник Паскаля:

1. (а – 1)⁵; б) (3 + х)⁴.

1. Найти пятый член разложения бинома:

1. (х^0,3 + х^0,5)⁶

3. 2 вариант

1. Записать разложение бинома, используя треугольник Паскаля:

1. (1 + а)⁴; б) (3 - х)⁵.

2. 2. Найти пятый член разложения бинома:

3. (а^0,1 + а^0,8)⁷

5. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №26.

6. ТЕМА: «Классическое определение вероятности, свойства вероятностей, теорема о сумме вероятностей»

7. Цель работы: Уметь определять виды событий, теорему о сумме вероятностей, решать на их основе простейшие задачи на определение вероятности.

8. 1 вариант

1. Найти среди событий достоверные и невозможные:

   1. «появление 10 очков при бросании игральной кости»;

   2. «появление 10 очков при бросании трех игральных костей»;

   3. «появление 20 очков при бросании трех игральных костей»;

   4. «наугад выбранное двузначное число не больше 100».

2. Определить, какие из событий совместимые и несовместимые:

   1. Испытание – бросание монеты; события: А – «появление герба», В – «появление цифры»;

   2. Испытание – бросание игральной кости; события: А – «появление трех очков», В – «появление нечетного числа очков»;

   3. Испытание – бросание двух монет; события: А – «появление герба на одной из монет», В – «появление герба на второй монете»;

3. Определить, являются ли равновозможными события:

   1. Испытание – бросание игральной кости; события: А – «появление двух очков», В – «появление пяти очков»;

   2. Испытание – бросание игральной кости; события: А – «появление двух очков», В – «появление четного числа очков»;

   3. Испытание – два выстрела по мишени; события: А – «промах при первом выстреле», В – «промах при втором выстреле»;

4. Составить полную систему событий:

   1. Испытание – бросание монеты;

   2. Испытание – три выстрела по мишени;

   3. Испытание – бросание игральной кости.

1. 2 вариант

2. 1. Найти сумму событий:

1. Испытание – два выстрела по мишени; события: А – «попадание с первого выстрела», В – «попадание со второго выстрела»;

2. Испытание – бросание игральной кости; события: А – «появление одного очка», В – «появление двух очков»; С – «появление трех очков»;

3. Испытание – приобретение лотерейных билетов; события: А – «выигрыш 1000 рублей», В – «выигрыш 2000 рублей»; С – «выигрыш 3000 рублей».

1. 2. Найти произведение событий:

1. Испытание – два выстрела по мишени; события: А – «попадание с первого выстрела», В – «попадание со второго выстрела»;

2. Испытание – бросание игральной кости; события: А – «не появление трех очков», В – «не появление пяти очков»; С – «не появление нечетного числа очков».

1. 3. Назовите противоположные события для событий:

1. А – «выпадение двух гербов при бросании двух монет»;

2. В – «появление белого шара», если опыт состоит в извлечении одного шара из корзины, в которой имеются белые, черные и красные шары.

1. 4. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на 3.

2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №27.

3. ТЕМА: «Вычисление вероятностей. Прикладные задачи»

4. Цель работы: Уметь применять теоремы сложения и умножения вероятностей, использовать поле вероятностей.

5. 1 вариант

6. 1. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

7. 2. В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными.

8. 3. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0,2; вероятность выхода из строя второго элемента равна 0,3. Найти вероятность того, что: а) оба элемента выйдут из строя; б) оба элемента будут работать.

9. 4. В урне шары разного цвета: 10 белого, 15 черного, 5 синего. Найти вероятность того, что из урны наугад извлеченный шар окажется не черного или синего цвета.

10. 2 вариант

11. 1. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

12. 2. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20000 руб., на 10 - по 15000 руб, на 15 - по 10000 руб., на 25 - по 2000 руб. и на остальные ничего. Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10000 руб.

13. 3. Группа из 5 женщин и 20 мужчин выбирает трех делегатов. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть выбран, найти вероятность того, что выберут двух женщин.     

14. 4. В урне шары разного цвета: 20 белого, 15 черного, 5 синего. Найти вероятность того, что из урны наугад извлеченный шар окажется не белого или синего цвета.

16. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №28.

17. ТЕМА: « Представление числовых данных»

18. Цель работы: Уметь проверять закон распределения; изображать многоугольник распределения; вычислять основные числовые характеристики дискретной случайной величины;

19. Закон распределения дискретной случайной величины представлен в таблице.

20. Необходимо:

21. 1)проверить, является ли данная таблица законом распределения дискретной случайной величины;

22. 2)построить многоугольник распределения;

23. 3)определить математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднеквадратичное отклонение s(x).

24. 1 вариант

    xi	3	6	7	9
    pi	0,3	0,2	0,1	0,4

25. 2 вариант

    xi	2	4	6	9
    pi	0,1	0,3	0,2	0,4

26. 3 вариант

    xi	2	5	6	7
    pi	0,5	0,1	0,3	0,1

27. 4 вариант

    xi	2	5	6	8
    pi	0,2	0,2	0,4	0,2

29. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №29.

30. ТЕМА: «Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Угол между прямой и плоскостью»

31. Цель работы: сформировать пространственные представления.

32. 1 вариант

33. Задание 1. Концы отрезка не пересекающего плоскость, удалены от неё на расстояния 2,4 м и 7,6 м. Найдите расстояние от середины М отрезка до этой плоскости.

34. Задание 2. Перекладина длиной 5 м своими концами лежит на двух вертикальных столбах высотой 3 м и 6 м. Каково расстояние между основаниями столбов?

35. Задание 3. Из вершины равностороннего треугольника восстановлен перпендикуляр к плоскости треугольника. Чему равно расстояние от точки до прямой, если дм, = 8 дм?

36. Задание 4. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 17 см и 15 см. Проекция одной из них на 4 см больше проекции другой. Найдите проекции наклонных.

37. 2 вариант

38. Задание 1. Концы отрезка не пересекающего плоскость, удалены от неё на расстояния 1,4 м и 7,8 м. Найдите расстояние от середины М отрезка до этой плоскости.

39. Задание 2. Перекладина длиной 10 м своими концами лежит на двух вертикальных столбах высотой 2 м и 8 м. Каково расстояние между основаниями столбов?

40. Задание 3. Из вершины равностороннего треугольника восстановлен перпендикуляр к плоскости треугольника. Чему равно расстояние от точки до прямой, если дм, = 6 дм?

41. Задание 4. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Проекция одной из них на 9 см больше проекции другой. Найдите проекции наклонных.

43. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №30.

44. ТЕМА: «Признаки и свойства параллельных и перпендикулярных плоскостей»

45. Цель работы: сформировать пространственные представления о взаимном расположении прямых и плоскостей

46. Вариант 1

47. 1) Прямую, перпендикулярную любой прямой в плоскости, называют...

48. а) наклонной к плоскости;

49. б) перпендикуляром к плоскости;

50. в) секущей;

51. г) лучом.

52. 2) Наклонной к плоскости называют прямую, пересекающую плоскость и ...

53. а) не пересекающую перпендикуляр;

54. б) лежащую в ней;

55. в) не имеющую с ней общих точек;

56. г) не перпендикулярную ей.

57. 3) Параллельными называют плоскости,...

58. а) не имеющие общих прямых;

59. б) у которых одна общая точка;

60. в) у которых две общих точки;

61. г) не имеющие ни одной общей точки.

62. 4) Прямая, проходящая через основания перпендикуляра и наклонной, называется ...

63. а) секущей;

64. б) параллельной плоскости;

65. в) проекцией наклонной на плоскость;

66. г) перпендикуляром к плоскости.

67. 5) Наклонная перпендикулярна прямой в плоскости, если ...

68. а) перпендикуляр пересекается с проекцией наклонной на плоскость;

69. б) проекция наклонной параллельна этой прямой;

70. в) проекция наклонной перпендикулярна этой прямой;

71. г) прямая совпадает с проекцией наклонной.

72. Вариант 2

73. 1) Если из точки вне плоскости провести к ней перпендикуляр и наклонные, то ...

74. а) перпендикуляр длиннее наклонной;

75. б) наклонная длиннее перпендикуляра;

76. в) проекция наклонной короче перпендикуляра;

77. г) наклонная и ее проекция равны.

78. 2) Прямая параллельна плоскости, если они...

79. а) пересекают прямую в одной и той же точке;

80. б) перпендикулярны одной и той же прямой;

81. в) удалены от данной точки на равные расстояния;

82. г) пересекают плоскость в одной точке.

83. 3) Углом между наклонной и плоскостью называют...

84. а) угол между наклонной и перпендикуляром;

85. б) угол между проекцией и перпендикуляром;

86. в) угол между наклонной и ее проекцией;

87. г) угол между наклонной и прямой в плоскости.

88. 4) Через ... проходит единственная плоскость,

89. а) две точки; б) три параллельные прямые;

90. в) три попарно пересекающиеся прямые;

91. г) четыре точки.

92. 5) Прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость . . .

93. а) не имеют ни одной общей точки;

94. б) имеют две общие точки;

95. в) имеют только одну общую точку;

96. г) имеют три общих точки.

97. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №31.

98. ТЕМА: «Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями.»

99. Цель работы: сформировать пространственные представления о взаимном расположении прямых и плоскостей и расстояния между ними.

100. Вариант 1.

1. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если АВ=6 см, ВС=14 см, AD=3 cм.

2. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная его плоскости. Расстояние от точки К до других вершин прямоугольника равны 12 м, 14 м и 18 м. Найдите отрезок АК.

3. Угол между перпендикуляром и наклонной равен 60⁰, а длина перпендикуляра 20 см. Чему равна длина наклонной?

4. Известно, что прямая а параллельна прямой b, а прямая b пересекается с плоскостью. Каково взаимное расположение прямой а и плоскости? Изобразить рисунок, записать ответ.

1. Вариант 2.

1. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если BD=18 см, ВС=32 см, AD=10 cм.

2. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная его плоскости. Расстояние от точки К до других вершин прямоугольника равны 3 м, 3,5 м и 4,5 м. Найдите отрезок АК.

3. Угол между перпендикуляром и наклонной равен 45⁰, а длина перпендикуляра 10 см. Чему равна длина наклонной?

4. Известно, что прямая а перпендикулярна прямой b, а прямая b пересекается с плоскостью. Каково взаимное расположение прямой а и плоскости? Изобразить рисунок, записать ответ.

1. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 32.

2. ТЕМА: «Параллельное проектирование и его свойства».

3. Цель работы: Использование параллельного проектирования для изображения пространственной фигуры на плоскости. 
   Ответьте на вопросы:

1. Сколько точек характеризуют прямую?

2. Верно ли, что через любую точку пространства можно провести множество прямых, параллельных данной прямой? 

3. Закончите фразу: “Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то другая эту плоскость… 

4. Верно ли утверждение, что две не пересекающиеся прямые в пространстве, параллельны? 

5. Верно ли утверждение, что если две прямые параллельны некоторой плоскости, то они параллельны друг другу? 

6. Правильно ли, что через произвольную точку в пространстве можно провести лишь одну прямую, параллельную данной прямой?

7. Правильно ли, что если две прямые в пространстве не пересекаются, то они параллельны?

8. Правильно ли, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую?

9. Правильно ли, что если прямая параллельна некоторой плоскости, то в плоскости существует прямая, параллельная данной прямой?

10. Правильно ли, что если две прямые параллельны данной плоскости, то они параллельны друг другу?

11. В каком случае параллельной проекцией прямой будет точка? 

12. Справедливо ли утверждение: “Параллельные прямые не параллельные направлению проектирования, проектируются в параллельные прямые”? 

13. Справедливо ли утверждение: “Параллельные прямые проектируются в параллельные прямые или в одну прямую”? 

14. В пространстве задана прямая. Может ли ее параллельная проекция быть параллельной этой прямой? 

15. Можно ли по проекции точки на плоскость определить положение самой точки в пространстве? 

16. В каких случаях положение прямой в пространстве определяется заданием ее проекции на плоскость? 

1. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 33.

2. ТЕМА: «Различные виды многогранников. Их изображения».

3. Цель работы: Уметь различать многогранники, строить их изображения, перечислять элементы.

4. ЗАДАНИЕ 1. Здесь изображены многогранники. Для каждого из них подсчитайте число граней, вершин, рёбер.

5. ЗАДАНИЕ 2. Параллелепипед 

1. Где мы можем встретить параллелепипед в жизни, в быту?

2. Изобразите параллелепипед

3. Обозначьте параллелепипед буквами

4. Запишите ребра, вершины, грани параллелепипеда

5. Сколько у параллелепипеда ребер, граней, вершин?

1. ЗАДАНИЕ 3. Пирамида

1. Где мы можем встретить пирамиду в жизни, в быту?

2. Изобразите пирамиду

3. Обозначьте пирамиду буквами

4. Запишите ребра, основание, вершины, грани

1. д. Сколько у пирамиды ребер, граней, вершин? 

3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 34.

4. ТЕМА: «Площадь поверхности»

5. Цель работы: научиться находить площади поверхностей многогранников и тел вращения.

6. 1 вариант

7. 1. Основанием правильной пирамиды служит равносторонний треугольник со стороной 4 см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с плоскостью основания угол 45º. Найти площадь поверхности пирамиды.

8. 2. Найдите площадь поверхности правильной треугольной призмы, сторона основания которой 4 см, а боковое ребро 4 см.

9. 3. Радиус шара равен 4 см. Через конец радиуса, лежащий на сфере, проведена плоскость под углом 30º к нему. Найти площадь сечения шара.

10. 4. Радиус основания цилиндра, описанного около сферы, равен 2. Найти разность между площадью поверхности цилиндра и сферы.

11. 2 вариант

12. 1. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 8 см и наклонено к плоскости основания под углом 60º. Найти площадь поверхности пирамиды.

13. 2. Основанием прямой призмы является треугольник, у которого стороны , равные 5 см и 6 см образуют угол в 30º , её боковое ребро равно 4 см. Найдите площадь поверхности призмы.

14. 3. Образующая конуса 14 см, и наклонена к плоскости основания под углом в 60º. Найти площадь поверхности конуса.

15. 4. Площадь осевого сечения цилиндра равна 20 см² . Найти площадь его боковой поверхности.

17. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 35.

18. ТЕМА: «Вычисление площадей и объемов»

19. Цель работы: научиться применять на практике формулы для вычисления различных объемов и поверхностей.

20. 1. Контрольные вопросы

21. а) что такое объем и какими свойствами он обладает?

22. б) чему равен объем цилиндра, конуса, шара?

    I вариант	II вариант
    Решить задачу:
    1) Определить объем прямоугольного параллелепипеда по 3-м его измерениям:
    а = 8, в =1,3, с =6	а = 18, в =0,1, с =2
    2)Длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния ци­лин­дра равна 3, вы­со­та равна 2. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра.	2) Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен 2, вы­со­та равна 3. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, де­лен­ную на .
    3) В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD бо­ко­вое ребро SD равно 25, сто­ро­на ос­но­ва­ния равна . Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды.	3) В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с ос­но­ва­ни­емABCD  бо­ко­вое ребро  SAравно 30, сто­ро­на ос­но­ва­ния равна . Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды.
    4) Ра­ди­у­сы двух шаров равны 20 и 48. Най­ди­те ра­ди­ус шара, пло­щадь по­верх­но­сти ко­то­ро­го равна сумме пло­ща­дей их по­верх­но­стей.	4) Ра­ди­у­сы двух шаров равны 21 и 72. Най­ди­те ра­ди­ус шара, пло­щадь по­верх­но­сти ко­то­ро­го равна сумме пло­ща­дей их по­верх­но­стей.
    5) Вы­со­та ко­ну­са равна 6, об­ра­зу­ю­щая равна 10. Най­ди­те пло­щадь его пол­ной по­верх­но­сти, де­лен­ную на .	5) Длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 3, об­ра­зу­ю­щая равна 2. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са.

24. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №36.

25. ТЕМА: «Действия с векторами, заданными координатами. Скалярное произведение векторов. Векторное уравнение прямой и плоскости»

26. Цель работы: Уметь производить действия с векторами, заданными координатами; находить скалярное произведение векторов.

27. 1 вариант

28. 1)Даны векторы а{-1; 2; 0 } ,b{0; -5; -2 }, c{2; 1: -3}. Найдите координаты вектора р = 3 в – 2а + с

29. 2) Даны точки А(4; -3; 5), В(6; -7; 5), С(5; 2; 1) и Д(3; 6; 1). Докажите, что АВСД – параллелограмм.

30. 3) Вычислите угол между векторами АВ и СD , если А(3; -2; 4), В(4; -1; 2), С(6; -3; 2) , D(7; -3; 1) 4) Даны векторы а = 5 i - 2 j + 4 k и в = 3 j + 2 k . Вычислите а · в.

32. 2 вариант

33. 1) Даны векторы а{-1; 2; 0 } ,b{0; -5; -2 }, c{2; 1: -3}. Найдите координаты вектора п =3 с – 2в + а

34. 2) Даны точки А(3; 5; 4), В(4; 6; 5), С(6; -2; 1) и Д(5; -3; 0). Докажите, что АВСД – параллелограмм.

35. 3) Определите угол А треугольника, вершинами которого являются точки А(1; -1; 3), В(3; -1; 1), С(-1; 1; 3)

36. 4) Даны векторы а = 5 i - 2 j + 4 k и в = 3 j + 2 k . Вычислите а · в.

4