Правило умножения при решении комбинаторных задач

Тема урока: Правило умножения при решении комбинаторных задач

Цели урока: довести до понимания каждого учащегося понятия «комбинация», «дерево вариантов», правило умножения как способа решения задач комбинаторики путём рассуждений, показать применение способов в предложенных ситуациях, задачах.

Оборудование: ПК, проектор, интерактивная доска SMART BOARD.

МИНИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ:

Программное обеспечение для доски Smart Board.

Ход урока:

1.Организационный момент.

Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку.

Учитель: Добрый день, я учитель математики, зовут меня Елена Ивановна, сегодня я проведу у вас урок, надеюсь, что он будет интересным для нас.

Слайд 1

«Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая делать его немного занимательным» сказал Блез Паскаль

У вас на партах лежит рабочий лист (приложение 1), Найдите на нём таблицу, которая называется оценочный лист, впишите свою фамилию, имя. В течение урока вы будете выполнять различные задания, оценивать свои результаты и вносить их в оценочный лист. По ходу урока я буду напоминать вам об этом, и том, какие оценки вы можете заносить в таблицу.

Сегодня на уроке мы откроим новую страницу в изучении математике. Ребята, попробуйте сами догадаться, о чём пойдёт речь.

Обратите внимание на экран. Слайд 2

Что общего на этих картинках? Чем они отличаются?

Ответы детей.

Или иначе меняется комбинация шаров.

На доске появилось слово «комбинация» Слайд 3

Комбинация - перебор вариантов, сочетание или взаимное расположение чего-либо. Шторка

А комбинаторика – раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов и правил расчёта числа комбинаций.

Комбинаторика возникла в 17 веке. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Термин «комбинаторика» был связан с математикой немецким философом, Лейбницем.

В математике есть термин «комбинаторные задачи». Как вы думаете, какие это задачи? Слайд 4

Задача, в которой нужно осуществить перебор и подсчитать число всевозможных вариантов, точнее комбинаций, называют комбинаторной.

Давайте попробуем сформулировать тему сегодняшнего урока:

«Правило умножения при решении комбинаторных задач» Шторка

Чтобы понять какие задачи бывают на комбинации или варианты перебора, рассмотрим следующую задачу:

Задача:

Вы сидите по два человека за партой. Встаньте и поздоровайтесь с соседями за вашей и соседней партой, как принято в обществе здороваться при встрече.

Подсчитайте, сколько всего рукопожатий вы сделали?

Первый поздоровался с тремя, второй с двумя, третий с одним 3*2*1=6

Постановка проблемы.

А если вы захотите поздороваться все друг с другом? Сколько рукопожатий всего будет сделано? Может быть есть другой способ решения этой задачи?

Вернёмся к ней позднее.

Рассмотрим следующую задачу: Слайд 5

Перед вами в корзине лежат три фигуры.

Задание: составьте различные возможные комбинации из фигур, лежащих в корзине, при этом используйте все фигуры. Сосчитайте комбинации.

Кто хочет выполнить это задание у доски ?

Сколько комбинаций получилось? (ответ 6)

Это один из вариантов комбинаторных задач.

Учитель : Задача в которой нужно осуществить перебор и подсчитать число всевозможных вариантов ,точнее комбинаций, называют комбинаторной.

Внимание. Слайд 6

На доске записаны 5 цифр- 0,1,2,3.4. Нужно составить их этих цифр двузначные числа. Назовите несколько чисел. Одна комбинация: 2и 3 23, 1и 4 -14- вторая комбинация.

Вам нужно подсчитать, сколько чисел (комбинаций цифр) можно составить из этих пяти цифр?

Что вы будете делать?

На доске показан способ решения этой задачи при помощи дерева вариантов.

-почему от ствола отходит только 4 ветки?

-что означает вторая группа ветвей?

-почему от каждой ветви первой группы отходит по 5 ветвей второй группы?

-сколько двузначных чисел получилось?

Поднимите руку, те, у кого получились все 20 комбинаций? Есть другие ответы? Давайте проверим. Шторка

Поставьте в оценочный лист 3 балла, кто ошибся с числом двузначных чисел, не ставьте баллы.

Чтобы найти все двузначные числа из этих цифр, мы составили схему, которая называется геометрической моделью, дерево вариантов.

- итак, получилось 20 двухзначных чисел.

Как вы думаете, количество вариантов изменится, если взять не 5, а 9 цифр? Оно станет большим?

Ученики ответят: дерево вариантов разрастётся, если нет я отвечу:

-дерево вариантов разрастётся. Решение займёт много времени и места.

А можете вы предложить другой способ решения этой задачи?

Рассмотрим его.

Сколько цифр единиц для каждой из 4 цифр десятков найдётся?

-5.

Значит, для каждой из 4 по пять.

Действие, которое позволяет находить сумму одинаковых слагаемых называется – умножением. 4*5=20

Способ рассуждения, при котором нашли все возможные комбинации, называют правилом умножения. Слайд 7

Применение правила умножения к решению задач. (Шторка)

Решите самостоятельно следующую задачу:

Каждый из вас имеет компьютер. Чтобы никто не смог открыть вашу папку или компьютер вы ставите пароль.

Вы должны составить кодовое слово - пароль из предложенных букв слова ЗАМОК, используя каждую букву только один раз. Сколько вариантов придётся перебрать тому, кто попытается открыть ваши файлы?

Можно показать часть дерева вариантов, можно воспользоваться правилом умножения.

Если кому-то из вас трудно найти все варианты, можете воспользоваться алгоритмом на ваших рабочих листах (дерево можно построить на обратной стороне)

Сколько комбинаций получилось у вас? (ответ:120)

Если решили верно( любым способом)-3 балла, если строили дерево вариантов, но не достроили-2 балла

если нет-0 баллов.

Кто решал задачу при помощи дерева? При помощи правила умножения? Какой способ, по-вашему, лучше? Почему? Какой способ надежней? Какой экономней по времени? (у каждого способа свои преимущества, все зависит от человека, который его использует.)

Ребята, а сейчас мы сможем ответить на вопрос, который поставили в начале урока?

Подсчитайте, сколько всего рукопожатий вы бы сделали?

Сколько человек в классе? (18)

171615…

Первый поздоровался с17, второй с 16, третий с 15 и т. д.

Мы разобрали решение нескольких задач вместе с вами, а дома каждый из вас попробует решить самостоятельно задачи, которые есть на ваших листах.

Домашняя работа

1 вариант

А)Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 2,4,6, 8?Цифры не могут повторяться.

Б)Сколько двузначных чисел можно составить из этих же цифр, при условии, что цифры не могут повторяться ?

2.вариант

А)Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 3,5,7,9?Цифры не могут повторяться

Б) Сколько двузначных чисел можно составить из этих же цифр, при условии, что цифры не могут повторяться ?

Итоги урока

Сегодня на уроке вы рассмотрели понятия Слайд 8 : (дети отвечают)

(С опорой на доску) учитель показывает, дети называют слово, словосочетание и комментируют его. ШТОРКА

что такое комбинации, рассмотрели комбинаторные задачи и два способа их решения: дерево вариантов и правило умножения.

Приведите примеры с комбинациями цифр и букв, которые встречаются в вашей жизни.

Коды на входных дверях подъездов дома, сейфы, ячейки в банке, пин-коды на карточках, коды на продуктах, номера телефонов и т. д. Слайд 9

Подсчитайте колличество баллов в ваших листах, оцените свою работу, согласно набранных баллов.

А теперь, ребята, давайте сделаем оценку нашего урока. В преддверии Новогодних праздников, нарядим ёлочку. Каждый из вас повесит на ёлочку шарик своего настроения.

Если урок отличный интересный захватывающий , то жёлтый шарик

Если урок нормальный, обычный, то красный,

Если своей работой на уроке я доволен , то зелёный,

Если урок скучный, работа без интереса то фиолетовый.

Посмотрите, какая красивая ёлочка у нас получилась.

Я приготовила вам новогодний сюрприз. С наступающим новым годом вас!

Слайд 10

Спасибо за урок!

8-9 баллов – «5»

6-7 баллов – «4»

5 и меньше баллов – без оценки

ЗАМОК (буквы можно менять местами, нельзя использовать одну букву несколько раз)

1. Для первой буквы можно использовать все …. букв.

2.Для второй буквы ….вариантов( осталось не использованных букв).

3. Для третьей буквы….. варианта.

4. Для четвёртой… вариантов, так же считаю варианты для числа комбинаций

для пятой и шестой буквы.

Все варианты найду с помощью правила …………….. и получу ответ.

Домашняя работа

А) Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 2,4,6, 8?

Б) Сколько двузначных чисел можно составить из этих же цифр, при условии, что цифры не могут повторяться?

8-9 баллов – «5»

6-7 баллов – «4»

5 и меньше баллов – без оценки.

ЗАМОК (буквы можно менять местами, нельзя использовать одну букву несколько раз).

1. . Для первой букв можно использовать все …. букв.

2.Для второй буквы …. вариантов (осталось не использованных букв).

3. Для третьей буквы….. варианта.

4. Для четвёртой… вариантов, так же считаю варианты для числа комбинаций

для пятой и шестой буквы.

Все варианты найду с помощью правила …… ……….. и получу ответ.

Домашняя работа

А) Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 3,5,7,9?

Б) Сколько двузначных чисел можно составить из этих же цифр, при условии, что цифры не могут повторяться?