Векторы в пространстве
вход
Содержание
I. Понятие вектора в пространстве
II. Коллинеарные векторы
III. Компланарные векторы
IV. Действия с векторами
V. Разложение вектора
VI. Базисные задачи
Проверь себя
Помощь в управлении презентацией
Выход
Понятие вектора в пространстве
Вектор(направленный отрезок) –
отрезок, для которого указано какой из его концов считается началом, а какой – концом.
Длина вектора – длина отрезка AB.
В
M
А
Коллинеарные векторы
Два ненулевых вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной
прямой или параллельных прямых.
Среди коллинеарных различают:
- Сонаправленные векторы
- Противоположно направленные векторы
Сонаправленные векторы
Сонаправленные векторы - векторы, лежащие
по одну сторону от прямой, проходящей через их начала.
Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором.
Равные векторы
Равные векторы - сонаправленные векторы,
длины которых равны.
От любой точки можно отложить вектор,
равный данному, и притом только один.
Противоположно направленные векторы
Противоположно направленные векторы – векторы, лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через их начала.
Противоположные векторы
Противоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны.
Вектором, противоположным нулевому,
считается нулевой вектор.
Признак коллинеарности
Доказательство
Доказательство признака коллинеарности
Определение компланарных векторов
Компланарные векторы – векторы, при откладывании которых от одной и той же точки пространства, они будут лежать в одной плоскости.
Пример:
B 1
C 1
A 1
D 1
B
C
А
D
О компланарных векторах
Любые два вектора всегда компланарны.
Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны.
α
если
Признак компланарности
Доказательство
Задачи
Задачи на компланарность
а)
б)
Справка Решение
- Известно, что векторы , и компланарны. Компланарны ли векторы:
а)
б)
Справка Решение
Решение
Решение
Решение
Доказательство признака компланарности
B 1
С
B
A
A 1
O
Свойство компланарных векторов
Действия с векторами
- Сложение
- Вычитание
- Умножение вектора на число
- Скалярное произведение
Сложение векторов
- Правило треугольника
- Правило параллелограмма
- Правило многоугольника
- Правило параллелепипеда
- Свойства сложения
Правило треугольника
B
А
C
Правило треугольника
B
А
C
Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:
Правило параллелограмма
B
А
C
Свойства сложения
Правило многоугольника
Сумма векторов равна вектору, проведенному
из начала первого в конец последнего(при последовательном откладывании).
B
C
A
Пример
E
D
Пример
B 1
C 1
A 1
D 1
B
C
A
D
Правило параллелепипеда
Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда, равен сумме векторов, проведенных из той же точки и лежащих на трех измерениях параллелепипеда.
B 1
C 1
A 1
D 1
B
C
А
D
Свойства
B 1
C 1
A 1
D 1
B
C
А
D
Вычитание векторов
- Вычитание
- Сложение с противоположным
Вычитание
Разностью векторов и называется такой
вектор, сумма которого с вектором равна
вектору .
Вычитание
B
A
Правило трех точек
C
Правило трех точек
Любой вектор можно представить как разность двух векторов, проведенных из одной точки.
B
А
K
Сложение с противоположным
Разность векторов и можно представить как сумму вектора и вектора, противоположного вектору .
А
B
O
Умножение вектора на число
Свойства
- Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.
- Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.
Свойства
Скалярное произведение
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
Справедливые утверждения
Вычисление скалярного произведения в координатах
Свойства скалярного произведения
Справедливые утверждения
- скалярное произведение ненулевых векторов
равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны
- скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату
его длины
Вычисление скалярного произведения в координатах
Доказательство
Доказательство формулы скалярного произведения
B
α
O
A
A
B
O
O
B
A
Доказательство формулы скалярного произведения
Свойства скалярного произведения
1 0 .
2 0 .
3 0 .
4 0 .
(переместительный закон)
(распределительный закон)
(сочетательный закон)
Разложение вектора
- По двум неколлинеарным векторам
- По трем некомпланарным векторам
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Теорема.
Любой вектор можно разложить по двум
данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Доказательство
Доказательство теоремы
Тогда , где y – некоторое число. Следовательно,
т.е. разложен по векторам и .
P
B
O
A
A 1
Доказательство теоремы
- не коллинеарен ни вектору , ни вектору .
Отметим О – произвольную точку.
Доказательство теоремы
Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Допустим:
Тогда:
-
Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
Если вектор p представлен в виде
где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор
разложен по векторам , и .
Числа x, y, z называются коэффициентами разложения.
Теорема
Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Доказательство
Доказательство теоремы
P
С
B
P 1
P 2
O
A
Доказательство теоремы
Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Допустим:
Тогда:
-
Базисные задачи
Вектор, проведенный в середину отрезка
Вектор, проведенный в точку отрезка
Вектор, соединяющий середины двух отрезков
Вектор, проведенный в центроид треугольника
Вектор, проведенный в точку пересечения
диагоналей параллелограмма
Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда
Вектор, проведенный в середину отрезка,
равен полусумме векторов, проведенных из той же точки в его концы.
С
A
B
O
Доказательство
Доказательство
С
A
B
O
Вектор, проведенный в точку отрезка
Точка С делит отрезок АВ в отношении т : п .
С
A
m
n
B
O
Доказательство
Доказательство
С
A
m
n
B
O
Вектор, соединяющий середины двух отрезков,
равен полусумме векторов, соединяющих их концы.
N
С
N
D
С
D
B
B
M
M
A
A
Доказательство
Доказательство
N
С
D
B
M
A
Вектор, проведенный в центроид треугольника,
равен одной трети суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины треугольника.
Центроид – точка пересечения медиан треугольника.
O
С
M
A
B
Доказательство
Доказательство
O
С
M
K
A
B
Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма,
равен одной четверти суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины параллелограмма.
O
C
B
M
A
D
Доказательство
Доказательство
O
C
B
M
A
D
Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда,
равен сумме векторов, лежащих на трех его ребрах, исходящих из одной вершины.
C 1
B 1
A 1
D 1
B
C
A
D
Доказательство
Доказательство
B 1
C 1
A 1
D 1
B
C
A
D
Помощь в управлении презентацией
- управление презентацией осуществляется с помощью левой клавиши мыши
- переход от одного слайда к другому и на гиперссылки по одиночному щелчку
- завершение презентации при нажатии кнопки выход
переход к следующему слайду
возврат к содержанию
возврат к подтеме
возврат с гиперссылок
Проверь себя
- Устные вопросы
- Задача 1 . Задача на доказательство
- Задача 2. Разложение векторов
- Задача 3. Сложение и вычитание векторов
- Задача 4. Скалярное произведение
Устные вопросы
Справедливо ли утверждение:
а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарны?
б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены?
в) любые два равных вектора коллинеарны?
г) любые два сонаправленных вектора равны?
д)
е) существуют векторы , и такие, что
и не коллинеарны, и не коллинеарны, а
и коллинеарны?
Ответы
Ответы
а) ДА
б) НЕТ (могут быть и противоположно направленными)
в) ДА
г) НЕТ (могут иметь разную длину)
д) ДА
е) ДА
Задача 1. Задача на доказательство
B 1
C 1
A 1
D 1
M 2
M 1
B
C
А
D
Решение
Решение
B 1
C 1
A 1
D 1
M 2
M 1
B
C
А
D
Задача 2. Разложение векторов
Разложите вектор по , и :
а)
б)
в)
г)
Решение
D
B
A
N
C
Решение
а)
б)
в)
г)
Задача 3. Сложение и вычитание
Упростите выражения:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Решение
Решение
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Задача 4. Скалярное произведение
Вычислить скалярное произведение векторов:
C 1
B 1
A 1
D 1
B
C
A
D
Решение
Задача 4. Скалярное произведение
Вычислить скалярное произведение векторов:
B 1
C 1
O 1
A 1
D 1
B
C
A
D
Решение
Решение
Решение
Решение
C 1
B 1
O 1
A 1
D 1
B
C
A
D