Презентация "Доказательство теоремы Пифагора"

Доказательство теоремы Пифагора

Выполнил

Шамарин Даниил,

ученик 9Б

Теоре́ма Пифаго́ра  — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Соотношение в том или ином виде предположительно было известно различным древним цивилизациям задолго до нашей эры; первое геометрическое доказательство приписывается Пифагору. Утверждение появляется как Предложение 47 в «Началах» Евклида.

В древнекитайской книге «Чжоу би суань цзин», относимой к периоду V—III веков до н. э., приводится треугольник со сторонами 3, 4 и 5, притом изображение можно трактовать как графическое обоснование соотношения теоремы. В китайском сборнике задач «Математика в девяти книгах» (X—II веков до н. э.) применению теоремы посвящена отдельная книга.

Общепринято, что доказательство соотношения дано древнегреческим философом Пифагором (570—490 до н. э.). Имеется свидетельство Прокла (412—485 н. э.), что Пифагор использовал алгебраические методы, чтобы находить пифагоровы тройки, но при этом в течение пяти веков после смерти Пифагора прямых упоминаний о доказательстве его авторства не находится.

Основная формулировка содержит алгебраические действия — в прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны а и b , а длинна гипотенузы- c , выполнено соотношение:

Возможна и эквивалентная геометрическая формулировка, прибегающая к понятию площади фигуры : в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах . В таком виде теорема сформулирована в Началах Евклида.

В научной литературе зафиксировано не менее 400 доказательств теоремы Пифагора, что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата.

Доказательство 1

• Для самого простого доказательства теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника нужно задать идеальные условия: пусть треугольник будет не только прямоугольным, но и равнобедренным. Есть основания полагать, что именно такой треугольник первоначально рассматривали математики древности.
• Утверждение  «квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах»  можно проиллюстрировать следующим чертежом:

Посмотрите на равнобедренный прямоугольный треугольник ABC: На гипотенузе АС можно построить квадрат, состоящий из четырех треугольников, равных исходному АВС. А на катетах АВ и ВС построено по квадрату, каждый из которых содержит по два аналогичных треугольника. Кстати, этот чертеж лег в основу многочисленных анекдотов и карикатур, посвященных теореме Пифагора. Самый знаменитый, пожалуй, это  «Пифагоровы штаны во все стороны равны» :

Доказательство 2

• Этот метод сочетает в себе алгебру и геометрию и может рассматриваться как вариант древнеиндийского доказательства математика Бхаскари.
• Постройте прямоугольный треугольник со сторонами  a, b и c  (рис.1). Затем постройте два квадрата со сторонами, равными сумме длин двух катетов, –  (a+b) . В каждом из квадратов выполните построения, как на рисунках 2 и 3.
• В первом квадрате постройте четыре таких же треугольника, как на рисунке 1. В результате получаться два квадрата: один со стороной a, второй со стороной  b .

Во втором квадрате четыре построенных аналогичных треугольника образуют квадрат со стороной, равной гипотенузе c. Сумма площадей построенных квадратов на рис.2 равна площади построенного нами квадрата со стороной с на рис.3. Это легко проверить, высчитав площади квадратов на рис. 2 по формуле. А площадь вписанного квадрата на рисунке 3. путем вычитания площадей четырех равных между собой вписанных в квадрат прямоугольных треугольников из площади большого квадрата со стороной (a+b). Записав все это, имеем: a 2 +b 2 =(a+b) 2  – 2ab. Раскройте скобки, проведите все необходимые алгебраические вычисления и получите, что a 2 +b 2 = a 2 +b 2 . При этом площадь вписанного на рис.3. квадрата можно вычислить и по традиционной формуле S=c 2 . Т.е. a 2 +b 2 =c 2  – вы доказали теорему Пифагора.

Доказательство 3

• Само же древнеиндийское доказательство описано в XII веке в трактате «Венец знания» («Сиддханта широмани») и в качестве главного аргумента автор использует призыв, обращенный к математическим талантам и наблюдательности учеников и последователей: «Смотри!».
• Но мы разберем это доказательство более подробно:

Внутри квадрата постройте четыре прямоугольных треугольника так, как это обозначено на чертеже. Сторону большого квадрата, она же гипотенуза, обозначим  с . Катеты треугольника назовем  а  и  b . В соответствии с чертежом сторона внутреннего квадрата это  (a-b) .

Используйте формулу площади квадрата  S=c 2 , чтобы вычислить площадь внешнего квадрата. И одновременно высчитайте ту же величину, сложив площадь внутреннего квадрата и площади всех четырех прямоугольных треугольников:  (a-b) 2 2+4*1\2*a*b .

Вы можете использовать оба варианта вычисления площади квадрата, чтобы убедиться: они дадут одинаковый результат. И это дает вам право записать, что  c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b . В результате решения вы получите формулу теоремы Пифагора  c 2 =a 2 +b 2 . Теорема доказана.

Доказательство 4

• Это любопытное древнекитайское доказательство получило название «Стул невесты» - из-за похожей на стул фигуры, которая получается в результате всех построений:

В нем используется чертеж, который мы уже видели на рис.3 во втором доказательстве. А внутренний квадрат со стороной с построен так же, как в древнеиндийском доказательстве, приведенном выше. Если мысленно отрезать от чертежа на рис.1 два зеленых прямоугольных треугольника, перенести их к противоположным сторонам квадрата со стороной с и гипотенузами приложить к гипотенузам сиреневых треугольников, получится фигура под названием «стул невесты» (рис.2). Для наглядности можно то же самое проделать с бумажными квадратами и треугольниками. Вы убедитесь, что «стул невесты» образуют два квадрата: маленькие со стороной b и большой со стороной a. Эти построения позволили древнекитайским математикам и нам вслед за ними прийти к выводу, что c 2 =a 2 +b 2 .

Заключение:

С глубокой древности математики находят всё новые и новые доказательства теоремы Пифагора,всё новые и новые замыслы её доказательств.Таких доказательств-более или менее строгих,более или менее наглядных-известно более полутора сотен,но стремлеение к преумножению их числа сохранилось.Поэтому теорема Пифагора занесена в «Книгу рекордов Гиннеса».

Источники:

• 1.Ван-дер-Варден Б.Л. «Пробуждающая наука» Математика Древнего Египта,Вавилона и Греции. 1959
• 2.Глайзер Г.И. История математики в школе.1982
• 3.Еленьский Щ.По слндам Пифагора.1961
• 4.Литцман В. Теорема Пифагора.1960