Презентация геометрия 10 класс

Изображение пространственных фигур на плоскости .

Итак, мы приступили к изучению стереометрии – геометрии в пространстве. Как всегда нам необходимо уметь изображать геометрические фигуры, причем все чертежи мы по-прежнему выполняем на плоскости (на странице тетради, на доске и т.д.). Каким образом пространственную фигуру (например, куб) можно «уложить» в плоскость?

А

Для решения этой задачи применяется метод параллельного проектирования . Выясним его суть на примере простейшей геометрической фигуры – точки.

Итак, у нас есть геометрическая фигура в пространстве – точка А.

Выберем в пространстве произвольную плоскость  (её мы будем называть плоскостью проекций )



и любую прямую a пересекает  (она задает направление

параллельного проектирования ).

а

А

Проведем через точку А прямую, параллельную прямой а .



Точка А ’ пересечения этой прямой с плоскостью и есть проекция точки А на плоскость  . Точку А ещё называют прообразом , а точку А ’ – образом . Если А  , то А ’ совпадает с А.

а

А

А ’

Рассматривая любую геометрическую фигуру как множество точек, можно построить в заданной плоскости проекцию данной фигуры. Таким образом можно получить изображение ( или «проекцию») любой плоской или пространственной фигуры на плоскости (см.рис.).

а



Наглядным примером параллельного проектирования является отбрасываемая любым объектом( прообраз ) в пространстве тень( образ ) от солнечных лучей( направление параллельного проектирования ) на Земле( плоскость проекций ).

Примечание 1. При параллельном проектировании не выбирают направление параллельного проектирования параллельно плоскости проекции (самостоятельно обоснуйте почему).



а

А

Примечание 2. При параллельном проектировании плоских фигур не выбирают направление параллельного проектирования параллельно плоскости, которой принадлежит эта плоская фигура, т.к. получающаяся при этом проекция не отражает свойства данной плоской фигуры.



а

B

А

C

B’

C’

А ’

Примечание 3 . Если направление параллельного проектирования перпендикулярно плоскости проекций, то такое параллельное проектирование называется ортогональным (прямоугольным) проектированием .



B

а

А

C

C’

А ’

B’

Примечание 4. Если плоскость проекций и плоскость, в которой лежит данная фигура параллельны (  || (АВС)), то получающееся при этом изображение…



… правильно – равно прообразу!

а

B

А

C

B’

А ’

C’

Параллельное проектирование обладает свойствами:

1) параллельность прямых (отрезков, лучей) сохраняется ;



B

а

D

A

C

B’

D’

A’

C’

Параллельное проектирование обладает свойствами:

• параллельность прямых (отрезков, лучей) сохраняется ;



2) отношение длин отрезков, лежащих на параллельных или на одной прямой сохраняется ;

B

а

М

D

A

C

B’

М ’

D’

A’

C’

Если, например, АВ=2 CD , то А ’ В ’ =2 C’D’ или

Параллельное проектирование обладает свойствами:

• параллельность прямых (отрезков, лучей) сохраняется ;



β

β ’

2) отношение длин отрезков, лежащих на параллельных или на одной прямой сохраняется ;

3 ) Линейные размеры плоских фигур(длины отрезков, величины углов) не сохраняются (исключение – см. примечание 4).

B

а

C

A

C’

A’

B’



Итак, построим изображение куба:

Далее разберем примеры изображения некоторых плоских фигур…

Фигура в пространстве

Её изображение на плоскости

Произвольный треугольник

Произвольный треугольник

Произвольный треугольник

Прямоугольный треугольник

Произвольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Её изображение на плоскости

Фигура в пространстве

Равносторонний треугольник

Произвольный треугольник

Произвольный параллелограмм

Параллелограмм

Произвольный параллелограмм

Прямоугольник

Фигура в пространстве

Её изображение на плоскости

Произвольный параллелограмм

Квадрат

Произвольный параллелограмм

Ромб

Трапеция

Произвольная трапеция

Её изображение на плоскости

Фигура в пространстве

Равнобокая трапеция

Произвольная трапеция

Прямоугольная трапеция

Произвольная трапеция

Круг (окружность)

Овал (эллипс)

Разберемся, как построить изображение правильного шестиугольника.

C

B

B

C

K

N

K

D

N

D

A

A

O

O

F

E

F

E

Разобьем правильный шестиугольник на три части: прямоугольник FBCE и два равнобедренных треугольника Δ FAB и Δ CDE . Построим вначале изображение прямоугольника FBCE – произвольный параллелограмм FBCE . Осталось найти местоположение двух оставшихся вершин – точек A и D .

Вспомнив свойства правильного шестиугольника, заметим, что: 1) эти вершины лежат на прямой, проходящей через центр прямоугольника и параллельной сторонам BC и FE ; 2) OK=KD и ON=NA .

Значит, 1) находим на изображении точку О и проводим через неё прямую, параллельную BC и FE , получив при этом точки N и K ;

2) откладываем от точек N и K от центра О на прямой такие же отрезки – в итоге получаем две оставшиеся вершины правильного шестиугольника A и D .

B

B

C

A

A

C

D

E

E

D

Попробуйте самостоятельно построить изображение правильного пятиугольника .

Подсказка : разбейте фигуру на две части – равнобокую трапецию и равнобедренный треугольник, а затем воспользуйтесь некоторыми свойствами этих фигур и ,конечно же, свойствами параллельного проектирования.

Решение . Просмотрите ход построения…

Спасибо за внимание!