Презентация к уроку

Тема урока

Элементы комбинаторики.

Перестановки.

Цель:

• Рассмотреть некоторые задачи комбинаторики.

Открываем новое

Факториал

Определение.

Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n .

Пример:

Обозначение n!

Запомни:

Таблица факториалов:

n

n!

0

1

1

2

1

3

2

6

4

5

24

6

120

7

720

8

5 040

9

40 320

10

362 880

3 628 800

На примерах учимся

№ 748

Найдите значение выражения

На примерах учимся

№ 746

Делится ли число на:

Открываем новое

Перестановки

Определение.

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение (без повторений) этих элементов в определенном порядке.

Число перестановок из n элементов обозначают

Читают «P из n».

Число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле :

P n = n!

6

Открываем новое

Пример 1

Сколькими способами могут быть расставлены восемь участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

Решение: P 8 = 8! = 40 320

Ответ: 40320.

6

Открываем новое

Пример 2

Сколько различн ых четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, причём в каждом числе цифры должны быть разные?

Решение: Р 4 – Р 3 = 4! – 3! = 18.

Ответ: 18.

Решение (II способ) 3·3·2·1=18 .

Заметим , что ответ на вопрос, можно получить, не выписывая сами числа. Будем рассуждать так .

• Первую цифру можно выбрать тремя способами.(0 не может стоять на первом месте)
• После выбора первой цифры останутся три .
• Вторую цифру можно выбрать тремя способами.
• Третью цифру можно выбрать двумя способами.
• Остается приписать одну цифру.

Следовательно, общее число искомых четырехзначных чисел равно произведению

6

Открываем новое

Пример 3

Имеется 10 различных книг, среди которых есть трёхтомник одного автора. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке, если книги трёхтомника должны находиться вместе, но в любом прядке?

Решение:

Ответ: 241920.

6

На примерах учимся

№ 1

Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу: 1) 3 человека; 2) 5 человек?

Ответ: 1)6 способов; 2)120 способов.

На примерах учимся

№ 2

Сколько различных правильных

(с точки зрения русского языка)

фраз можно составить, изменяя порядок слов в предложении:

• «Я пошла гулять»;
• «Во дворе гуляет кошка»?

Ответ: 1)6 способов; 2)6 способов.

На примерах учимся

№ 3

Сколькими способами можно с помощью букв К, L, М, Н обозначить вершины четырехугольника?

Ответ: 24 способа.

На примерах учимся

№ 735

Сколько существует выражений, тождественно равных произведению abcde, которые получаются из него переста­новкой множителей?

Ответ: 119 выражений.

На примерах учимся

№ 736

Ольга помнит, что телефон подруги оканчивает­ся цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется пере­брать, чтобы дозвониться подруге.

Ответ: 6 вариантов.

На примерах учимся

№ 741

(Олег находится в конце ряда). Число комбинаций равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих перед Олегом:

Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций:

а) Олег находится в конце ряда;

б) Олег находится в начале ряда , а Игорь в конце;

в) Олег и Игорь стоят рядом;

а) ( Олег находится в конце ряда – фиксируем ). Число комбинаций равно числу перестановок 6 мальчиков , стоящих перед Олегом

б) Два элемента фиксированы . Число возможных комбинаций равно числу перестановок 5 мальчиков , стоящих между Олегом и Игорем

На примерах учимся

№ 741

(Олег находится в конце ряда). Число комбинаций равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих перед Олегом:

Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций:

а) Олег находится в конце ряда;

б) Олег находится в начале ряда , а Игорь в конце;

в) Олег и Игорь стоят рядом;

в ) Пусть Олег и Игорь стоят рядом . Возможны два варианта их расположения в паре ( Олег – Игорь, Игорь – Олег ). Будем рассматривать эту пару как единый элемент, переставляемый с другими пятью элементами.

Замечание: Такой прием называется «склеиванием» элементов.

Ответ: 720; 120;1440.

На примерах учимся

№ 737

Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр:

а) 1,2, 5, 6, 7, 8;

б) 0, 2, 5, 6, 7, 8?

Отличие от предыдущей задачи состоит в том, что ноль не может стоять на первом месте.

Ответ: 720 чисел; 600 чисел.

Физкультминутка.

Один, два, три, четыре, пять,

Все умеем мы считать.

Отдыхать умеем тоже:

Руки за спину положим,

Голову поднимем выше

И легко – легко подышим.

А теперь, девчата, встали.

Быстро руки вверх подняли,

В стороны, вперед, назад.

Повернулись вправо, влево,

Тихо сели, вновь за дело.

Проверочная работа

У8844

Вариант 1

• Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола

6 гостей на шести стульях?

2. У Вовы на обед первое, второе, третье блюда и салат. Он обязательно начнет с салата, а остальное съест в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов обеда.

3. Игральный кубик бросили дважды и записали выпавшие очки. Найдите число всех возможных результатов.

Вариант 2

1. Сколько существует вариантов рассаживания вокруг дачного домика 8 различных деревьев в восемь подготовленных ям?

2. Маше необходимо сшить пяти куклам 5 платьев. Любимой кукле Алине в первую очередь, а остальным в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов пошива кукольной одежды.

3. В ларьке продается 5 видов мороженого в брикетах. Оля и Таня покупают по одному брикету. Сколько существует вариантов такой покупки?

Ответим на вопросы

• Что изучает комбинаторика ?
• Кем был введен в математический обиход термин « комбинаторика» ?
• Какие способы решения комбинаторных задач рассмотрели на уроке?
• Что означает запись n! ?
• Найдите значение выражения
• Что называется перестановкой из n элементов?

Задания для самоподготовки

Учиться –все равно, что грести против течения ׃ только перестанешь и тебя гонит назад.

Выучить: п.31. Разобрать примеры 1, 2, 3.

Выполнить: № 732, №733, №734, №738, №747, №749.

Закончи предложение:

• Сегодня на уроке я запомнила……………..
• Я научилась……………………………………
• Я поняла……………………………………......
• У меня не получилось………………………
• Мне бы хотелось…………………………….
• Я справлюсь с домашней работой………...