Презентация к уроку

Случайные события. Вероятности и частоты

Подготовила:

учитель математики

ГБОУ ЛНР г. Антрацита

« Антрацитовская средняя школа № 3»

Иоцук М.В.

Случайные события

О некоторых событиях мы можем твёрдо сказать, что они произойдут. В наступ­лении других событий мы не уверены.

Например, в самый жаркий и солнечный лет­ний день мы точно знаем, что лето кончится, наступит осень, а затем зима. Но,невозможно сказать заранее, будет эта зима тёплой или холодной.

Мы не можем предвугадать, будет ли следующий год влажным или засушливым, урожайным или нет. В неурожайный год дорожает хлеб, предприятия сельского хозяйства несут убытки, а

некоторые из них могут разориться.

Урожайные годы

тоже хорошо было бы

прогнозировать заранее.

Случайный эксперимент

Случайный эксперимент (случайный опыт) – это условия и обстоятельства, в которых мы рассматриваем случайные события.

ПРИМЕР 1 . Случайный эксперимент – телефонный разговор. Можно говорить о разных случайных событиях в этом эксперименте. Например, «длительность разго­вора составит от 5 до 10 минут» или «разговор прервётся из – за плохой связи».

ПРИМЕР 2 . Школьник пишет контрольную работу по математике. Это в нашем понимании случайный эксперимент, и в нём возникают случайные события. Напри­мер, «школьник сделает не больше трёх ошибок» или «школьник получит отметку «отлично».

ПРИМЕР 3 . Бросание игрального кубика. У игрального кубика (кости) шесть оди­наковых граней с числами от 1 до 6. Невозможно предсказать, какая грань выпадет. Выпадение шестёрки – случайное событие. Другое случайное событие – «выпадет больше двух очков».

ПРИМЕР 4 . Денежная лотерея. Случайные события: «выпадение выигрыша на определённый номер» или «сумма выигрыша на данный билет лотереи превышает 1000 р.».

Ответь на вопросы

• Вообразите, что вы ловите рыбу на озере, где водится только окунь и плотва. Какие случайные события могут произойти при этом?

2. Автомобиль подъезжает к перекрёстку двух дорог и намерен продолжить движе­ние. Какие случайные события возможны в этом эксперименте? Приведите не­сколько примеров.

Вероятность событий

Например, обсуждая будущую встречу футбольных команд А и Б, кто – то может сказать, что их шансы на победу относятся как 1 к 3. Всем при этом будет понятно, что этот человек считает победу команды Б втрое более вероятной, чем победу команды А. В подтверждение своего мнения он скажет, что команды А и Б встречались много раз и при этом команда Б побеждала примерно в три раза чаще, чем команда А. Поэтому он и говорит, что вероятность события «победит команда А» равна , или 0,25, а вероятность события «победит команда Б» равна , или 0,75, опираясь на частоты происходивших событий. В этом примере мы не учитывали матчи, окончившиеся вничью: ничья не входит в условия описан­ного случайного эксперимента.

Вероятность событий

• Другой пример. При бросании игрального кубика шансы выпадения единицы та­кие же, как и выпадения двойки. А шансы событий «выпадет шестёрка» и «шестёр­ка не выпадет» относятся как 1 к 5.
• Некоторые случайные события происходят очень редко. Маловероятно, например, что 31 января следующего года в Екатеринбурге будет гроза или что на конкретный купленный лотерейный билет выпадет крупный выигрыш.
• Другие случайные события происходят очень часто, почти всегда. Таким, напри­мер, является событие «31 января следующего года в Екатеринбурге грозы не будет».

Определения

Вероятность случайного события – это числовая мера правдоподобия этого события.

Невозможное случайное событие – это случайное событие, которое в слу­чайном эксперименте не наступает. Вероятность невозможного события равна 0.

Достоверное случайное событие – это случайное событие, которое в случайном эксперименте обязательно наступает. Вероятность достоверного события равна 1.

Определение . Отношение числа опытов, в которых случайное событие произошло, к общему числу проведённых одинаковых опытов называется частотой

данного случайного события

в этой серии опытов.

Если событие не наступило

ни разу, то его частота равна 0.

Но это не значит, что оно

невозможное.

Может быть, в следующей

серии таких же опытов

это событие всё же случится. Если событие наступило во всех опытах, то частота этого события равна 1.

Пример

Обратимся к таблице результатами подсчёта домашних животных школьников одного класса. Различными зна­чениями в нашем наборе являются виды живот­ных, а также значение «Никого». Найдём их ча­стоты. Для этого подсчитаем общее количество значений:

9 + 11 + 7 + 3 + 2 + 1 = 33.

Значение «Собака» встречается 9 раз. Поэтому частота этого значения равна  0,273.

Животное

Всего

Собака

Частота

9

Кошка

11

0,273

Никого

Рыбки

0,333

7

3

0,212

Птицы

0,091

2

Черепаха

1

0,061

Сумма

0,030

33

1

Вероятности и частоты связаны. Если опыт повторять достаточно много раз, окажется, что частота события близка к его вероятности .

Если вероятность события мала (например, меньше чем 0,001), то такое событие на­ступает редко. Такие события называют маловероятными . В практических ситуациях, когда опыт проводят один раз, маловероятные события обычно считают невозможны­ми. Например, можно выиграть в лотерее большую сумму денег и жить безбедно и не работая. Но вероятность этого события настолько мала, что разумные люди на это не рассчитывают.

Ответь на вопросы

• Приведите примеры невозможных и достоверных случайных событий в экспери­менте, где бросают игральную кость с очками от 1 до 6.

2. Приведите примеры маловероятных событий в эксперименте «прогноз погоды на завтра».

Задание 1

Бросают игральный кубик, на гранях которого числа от 1 до 6. Укажите, какие из перечисленных событий являются достоверными, а какие – невоз­можными:

а) выпадет 7 очков;

б) выпадет больше 2, но меньше 5 очков;

в) выпадет от 1 до 6 очков;

г) выпадет больше 3, но меньше 4 очков.

Задание 2

Рассмотрим числовой набор, в котором есть одинаковые значения. Например, отметки школьника по математике, полученные в течение четверти:

3, 4, 3, 5, 4, 3, 4, 4, 4, 2, 3, 5, 3, 3, 4, 5, 2, 4, 4, 4.

Составим таблицу частот.

Оценка

Сколько раз встречается

«2»

Частота

«3»

«4»

«5»

Сумма

2

6

9

3

20

0,1

0,3

0,15

1

0,45

Задание 3

Дан числовой набор 5, 4, 8, 1, 1, 3, 4, 5, 8, 1. Найдите частоту:

а) значения 1; б) значения 4.

.

Ответ: 0,3; 0,2

Задание 3

В числовом наборе 5 значений. Частоты четырёх значений известны: 0,35, 0,2, 0,1 и 0,05. Найдите частоту пятого значения.

Ответ: 0,3

Домашнее задание:

п.27, 28. Ответить устно на вопросы 2,3 стр.109,

Выполнить № 184, 185 стр. 112, № 97 стр.60