Презентация к уроку геометрии по теме "Векторы."

Векторы

Историческая справка

• Термин вектор (от лат. Vector – “ несущий “) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем.

Что такое вектор ?

Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением : например, скорость, сила, давление. Такие величины называются векторными величинами или векторами .

Геометрическое понятие вектора

• Наиболее наглядно величину и направление одновременно можно задать с помощью направленного отрезка – вектора . Направление вектора указывается стрелкой. Точка A называется началом вектора, а точка B – концом .
• Векторы обозначаются латинскими буквами a , b , c , …, а также AB , CD , … (на первом месте ставится начало вектора).

В

Конец вектора

a

C

c

А

b

Начало вектора

D

Понятие вектора

• Определение.

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором.

Понятие вектора

• На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой

Вектор АВ, А – начало вектора, В – конец.

CD

EF

LK

АВ

В

А

E

F

D

L

K

C

Задание. Назови вектора и запиши их обозначения.

N

F

E

D

K

M

С

Правильность записи векторов вызывается по щелчку мыши

Сравним ответ

7

DC

MN

FE

KK

Задание. Назови вектора и запиши их обозначения.

N

F

E

D

K

M

С

Правильность записи векторов вызывается по щелчку мыши

8

Понятие вектора

• Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней:
• Любая точка плоскости также является вектором, который называется НУЛЕВЫМ. Начало нулевого вектора совпадает с его концом:

ММ = 0.

b

c

a

М

Понятие вектора

• Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ:

АВ = а = АВ = 5

с = 17

• Длина нулевого вектора считается равной нулю:

ММ = 0.

с

В

a

А

М

Укажите длину векторов

F

E

N

L

Сравним ответ

K

с

M

11

Укажите длину векторов

F

E

|EF| = 3

N

L

|MN| = 4

|LK| = 5

K

|c| = 2

с

M

12

Коллинеарные вектора

Ненулевые вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых

L

с

K

b

A

B

М

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору

Проверь себя

13

Направление векторов

a

• Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены одинаково, то эти векторы называются сонаправленными.

• Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

C

D

b

F

K

a ↑↑CD b ↑↑KF

Противоположно направленные вектора

Коллинеарные вектора имеющие противоположное направление, называются противоположно направленными векторами

b ↑↓ KL AB ↑↓ c

c ↑↓ b KL ↑↓ AB

L

K

A

с

b

B

15

Задача

• Какие из векторов, изображенных на рисунке:

• коллинеарны;
• сонаправлены;
• противоположно направлены;

d

c

a

b

Задание

Назовите соноправленные вектора:

Вариант 2

Вариант 1

A

B

K

N

L

M

D

C

Задание

Назовите противоположно направленные вектора:

Вариант 2

Вариант 1

A

B

K

N

L

M

D

C

Равенство векторов

а

c

• Определение.

Векторы называются равными , если они сонаправлены и их длины равны.

а = b , если

• а b
• а = b

b

d

m

f

s

n

Задание

Назовите равные вектора:

Вариант 2

Вариант 1

A

B

K

N

L

M

D

C

Откладывание вектора от данной точки

• Если точка А – начало вектора а , то говорят, что вектор а отложен от точки А .
• Утверждение: От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору а , и притом только один.

Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой

а

А

М

а

Задача

• На рисунке изображена равнобедренная трапеция KLMN.

а) Укажите сонаправленные , противоположно направленные , равные вектора .

б) Укажите векторы , длины которых равны . Равны ли при этом сами векторы?

L

M

K

N

Сумма двух векторов

• Рассмотрим пример:

Петя из дома( D ) зашел к Васе( B ), а потом поехал в кинотеатр( К ).

В результате этих двух перемещений, которые можно представить векторами DB и BK , Петя переместился из точки D в К, т.е. на вектор D К:

DK=DB+BK .

Вектор DK называется суммой векторов DB и BK .

B

K

D

Сумма двух векторов

Правило треугольника

Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем от точки В отложим вектор ВС = b .

АС = а + b

b

B

a

b

a

C

A

Сложение векторов

Правило треугольника

А

В

+

О

М

N

Р

О

К

А

В

С

Д

Постройте векторы:

H

K

F

L

N

P

O

M

U

T

S

R

Правило параллелограмма

К

О

Р

Т

М

К

А

В

С

Д

Постройте векторы:

H

K

F

L

N

P

O

M

U

T

S

R

Законы сложения векторов

1) а+ b=b+a (переместительный закон) Правило параллелограмма

Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем вектор А D = b . На этих векторах построим параллелограмм АВС D .

АС = АВ + B С = а+ b

АС = А D + D С = b+a

2) ( а+ b)+c=a+(b+c)

(сочетательный закон)

a

D

C

b

a

b

b

B

A

a

Сумма нескольких векторов

Правило многоугольника

s=a+b+c+d+e+f

k+n+m+r+p= 0

n

m

d

c

r

b

e

k

p

O

a

f

s

Вычитание векторов

А

О

В

Как проверить?

Противоположные векторы

Пусть а – произвольный ненулевой вектор.

Определение. Вектор b называется противоположным вектору а, если а и b имеют равные длины и противоположно направлены.

a = АВ, b = BA

Вектор, противоположный вектору c , обозначается так: - c .

Очевидно, с+(-с)=0 или АВ+ВА=0

c

B

a

-c

b

А

Вычитание векторов

Определение. Разностью двух векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а.

Теорема. Для любых векторов а и b справедливо равенство а - b = а + (- b ).

Задача. Даны векторы а и b . Построить вектор а – b .

b

-b

-b

а

а

a - b

Умножение вектора на число

О

К

сонаправленные, если

и

противоположно направленные, если

Умножение вектора на число

Определение. Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b , длина которого равна вектору k а , причем векторы а и b сонаправлены при k ≥ 0 и

противоположно направлены при k 0.

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Для любого числа k и любого вектора а векторы а и ka коллинеарны.

а

-2a

3а

От точки N отложите

векторы

N

Умножение вектора на число

Для любых чисел k , n и любых векторов а, b справедливы равенства:

• ( kn ) а = k (na) ( сочетательный закон)
• ( k + n ) а = k а + na ( первый распределительный закон)
• K ( а+ b ) = k а + kb ( второй распределительный закон)

Свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например,

p = 2( a – b) + ( c + a ) – 3( b – c + a ) =

= 2a – 2b + c + a – 3b + 3c – 3a = - 5b + 4c

Задачи

• На рисунке изображен параллелограмм ABCD. Укажите векторы , длины которых равны . Равны ли при этом сами векторы?

• В ромбе ABCD l AC l = 12см , l BD l = 16см . От вершины A отложен вектор AE, равный вектору BD. Найдите длину вектора EC.

• Отметьте две точки A и B. Найдите такую точку X, что: а) AX = XB; б ) AX = BX; в ) XA = XB.

B

C

A

D