Презентация к уроку по геометрии на тему "Перпендикулярность плоскостей"

Перпендикулярность плоскостей

• На что прямая а разделила плоскость?

Любая прямая, проведенная в данной плоскости, делит эту плоскость на две полуплоскости

а

Полученная фигура, называется двугранным углом

Определение

• Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости

A

С

О

B

D

Угол АОВ – линейный угол двугранного угла с ребром СD

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов

Признак перпендикулярности плоскостей

• Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Дано:

α,β

АВ ∈ α

АВ ⊥ β

АВ ⋂ β=А

Доказать:

α ⊥ β

B

A

β

α

= ∠BAD – линейный угол двугранного угла между α и β 3) ∠BAD = 90 ° (т.к. АВ ⊥ β)= = α ⊥ β АВ ⊥AC = С A D β α " width="640"

Доказательство:

B

• α ⋂ β=АС

АВ ⊥ β

2) В β проведем AD ⊥ AC =

= ∠BAD – линейный

угол двугранного угла между α и β

3) ∠BAD = 90 ° (т.к. АВ ⊥ β)=

= α ⊥ β

АВ ⊥AC

=

С

A

D

β

α

Свойство перпендикулярности плоскостей

Прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная их общей прямой, перпендикулярна другой плоскости

Дано:

α ⊥ β

α ⋂ β=с

a ∈ α

a ⊥ c

Доказать:

a ⊥ β

a

c

β

α

a ⊥ b 4) a ⊥ b a ⊥ c(по условию) b ⋂ с=О a c a ⊥ β( по признаку перпендикулярности прямой и плоскости) = О β b α " width="640"

Доказательство:

• а ⋂ с=О
• В β проведем через т. О b ⊥ c

• α ⊥ β = a ⊥ b

4) a ⊥ b

a ⊥ c(по условию)

b ⋂ с=О

a

c

a ⊥ β( по признаку перпендикулярности прямой и плоскости)

=

О

β

b

α

Задачи

1) Какой двугранный угол называется прямым?

2) Верно ли следующее определение линейного угла двугранного угла: «Линейным углом двугранного угла называется угол между двумя перпендикулярами:

1. восстановленными из одной точки его ребра;

2. лежащими в каждой его грани и проведенными через одну точку ребра;

3. к его ребру проведенными в каждой его грани»?

Задачи

3) На одной из граней двугранного угла дана точка Е, из нее опущены перпендикуляры EH и EG соответственно на другую его грань и на ребро. Докажите, что угол EGH - линейный угол данного двугранного угла.

Задачи

• 4) Верно ли следующее утверждение: «Если двугранные углы равны, то равны и их линейные углы»?
• 5) Сформулируйте утверждение, обратное утверждению предыдущей задачи. Верно ли оно?
• 6) Плоскость . Будет ли всякая прямая плоскости ?
• 7) Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через данную прямую?
• 8) Даны две перпендикулярные плоскости. Опишите возможные ситуации расположения прямой, лежащей в одной плоскости с прямой, лежащей в другой плоскости. Проиллюстрируете свой ответ.