Презентация к уроку по теме: Понятие производной

Понятие производной

Урок объяснения нового материала

Повторение

• Что такое функция?
• Примеры каких функций вы знаете?
• Что такое область определения функции?
• Что такое множество значений функции?

https://t.me/zanimmath

Предел функции

Допустим, у нас есть функция

Представим, что  x  стремится к числу  2 , но не достигает его: 1,9; 1,99; 1,999…1,99999 .

Тогда  y  будет стремиться к  4 : 3,61; 3,9601; 3,996001…3,9999600001 .

Число будет всё больше и больше, но никогда не достигнет числа  4 , а только приблизится к нему.

Предел функции  — это значение, к которому стремится функция, когда её аргумент приближается к определённому значению.

https://t.me/zanimmath

Предел функции

Предел в математике обозначается с помощью lim .

Читается выражение так: для функции y=f(x) пределом называется такое число a , к которому приближается y при x , стремящемся к определённой точке x 0 . Стремление обозначается стрелкой.

https://t.me/zanimmath

Приращение

Пусть функция y=f(x) определена в точках x 0 и x 1 . Разность x 1 - x 0 называют приращением аргумента (при переходе от точки x 0 к точке x 1 ), а разность f(x 1 ) – f(x 0 ) называют приращением функции

Приращение аргумента обозначают ∆x , произносят: дельта икс

Приращение функции ∆y или ∆f

https://t.me/zanimmath

Задача 1

Материальная точка движется по прямой, на которой заданы начало отсчёта, единица измерения (метр) и направление. Закон движения задан формулой S=S(t) , где t – время (в секундах), S(t) – расстояние материальной точки от начала отсчёта (её координата) в момент времени t (в метрах). Найдите скорость движения материальной точки в момент времени t

https://t.me/zanimmath

Задача 1

Материальная точка движется по прямой, на которой заданы начало отсчёта, единица измерения (метр) и направление. Закон движения задан формулой S=S(t) , где t – время (в секундах), S(t) – расстояние материальной точки от начала отсчёта (её координата) в момент времени t (в метрах). Найдите скорость движения материальной точки в момент времени t

Решение: пусть в момент времени t материальная точка была в положении T

В момент времени t+∆t материальная точка будет в точке K , то есть OK = S(t+∆t)

Значит, за ∆t секунд материальная точка переместилась из T в точку K . Имеем:

TK = OK – OT = S(t+∆t) - S(t) . Так мы получили приращение функции: S(t+∆t) - S(t) = ∆S .

То есть TK = ∆S (метров). Средняя скорость V ср движения материальной точки за промежуток времени |t; t+∆t| равна (в м/с):

https://t.me/zanimmath

Задача 1

А скорость V(t) в момент времени t (мгновенная скорость) – это тоже скорость движения за промежуток времени |t; t+∆t| , но ∆t выбирается очень маленьким, почти равным нулю,

то есть ∆t → 0 . Это значит, что V(t) равняется пределу V ср .

https://t.me/zanimmath

Задача 2

На графике функции y=f(x) взяли точку M(a;f(a)) и в этой точке провели касательную к графику функции. Необходимо определить угловой коэффициент этой касательной

https://t.me/zanimmath

Задача 2

На графике функции y=f(x) взяли точку M(a;f(a)) и в этой точке провели касательную к графику функции. Необходимо определить угловой коэффициент этой касательной

Решение: дадим аргументу ∆x приращение и рассмотрим на графике точку P с абсциссой a+∆x

Ордината точки P равна f(a+∆x) . Угловой коэффициент секущей MP равен тангенсу угла между секущей и осью x :

При ∆x → 0 , точка P будет приближаться по графику к точке M . При этом касательная будет предельным положением секущей. Значит, угловой коэффициент касательной равен пределу углового коэффициента секущей.

Используя приведённую выше формулу для коэффициента секущей:

https://t.me/zanimmath

Производная

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю (и этот предел существует), называется производной этой функции.

Другие обозначения производной: или

https://t.me/zanimmath

Производная

Пример 1:

Пример 2:

https://t.me/zanimmath

Физический смысл

Физический смысл производной – это скорость изменения величины или процесса

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t) , то мгновенная скорость точки:

https://t.me/zanimmath

Физический смысл

Скорость – это расстояние делить на время, т.е. скорость – это расстояние, пройденное за единицу времени, значит скорость – первая производная от расстояния .

Ускорение – это скорость делить на время, т.е. ускорение – это скорость в единицу времени, значит ускорение – первая производная от скорости.

https://t.me/zanimmath

Физический смысл

Пример: Закон движения точки по прямой задается формулой

, где t время (в секундах), S(t) – отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите мгновенную скорость движения точки в момент времени t=3 сек .

Решение:

Теперь подставим t=3 сек и получим 7∙3-5=16 м/с

Ответ: 16 м/с

https://t.me/zanimmath

Геометрический смысл

Геометрический смысл производной – производная от функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции или тангенсу угла наклона касательной к графику функции, в этой точке.

https://t.me/zanimmath

Применение производной

Спорт.  На данный момент тема спорта является очень актуальной и еще более неожиданной именно в этой статье. Каким образом производная из уроков по математики поможет нам в спорте?

Все намного проще, чем нам кажется. При занятиях спортом или фитнесом производная может помочь определить скорость изменения пульса или темпа тренировки. Это позволяет эффективнее планировать тренировочные программы и достигать лучших результатов.

Казалось бы, спорт и математика совершенно разные вещи, но если посмотреть на жизнь с точки зрения математики все видится совершенно иначе.

https://t.me/zanimmath

Применение производной

Транспорт.  Не отходя от более привычных нам жизненных тем, хочется затронуть сферу, которая так или иначе касалась каждого. Будь то общественный транспорт или собственная машина, производная нашла себя и здесь.

Водители автомобилей, крупных машин или пилоты самолетов могут использовать производную для определения скорости изменения скорости движения , что поможет управлять транспортным средством более безопасно и эффективно.

Здесь производная играет роль некого инструмента для составлении стратегии передвижения, как и в случае выше. Собственно, производная и есть своего рода стратег, только с математической точки зрения.

https://t.me/zanimmath

Применение производной

Финансы. Одним из наиболее распространенных способов использования производной является оптимизация финансовых решений.

С помощью производной мы можем оценить риск инвестиций или же оценить долгосрочные инвестиции. Крупным компаниям производная поможет в управлении финансовым потоком .

Например, можно использовать производную для анализа изменений цен активов и прогнозирования вероятности убытков при различных сценариях. Это поможет инвесторам разрабатывать стратегии управления рисками и принимать обоснованные финансовые решения. Производная также может быть использована для определения момента наивысшего прироста капитала или увеличения доходности портфеля. Например, путем анализа производной доходности по различным активам можно определить оптимальное распределение средств для достижения максимальной прибыли при минимальном риске.

https://t.me/zanimmath

Применение производной

Медицина.  Я думаю, что каждому из вас приходилось проходить какие-либо медицинские обследования или сдавать анализы. Так вот, производная и здесь способна проявить себя в лучшем свете.

В медицине производную используют для анализа динамики изменения показателей здоровья пациента , таких как температура тела, давление или уровень глюкозы в крови.

Кроме этого производную врачи также могут использовать как инструмент для моделирования различных диаграмм показателей здоровья пациентов, прогнозировать скорость распространения заболеваний, оценивать эффективность лечения и других задач. Это помогает врачам быстрее выявлять проблемы и предотвращать осложнения. И это является еще одним доказательством того, что без производной обойтись уж никак не получится.

https://t.me/zanimmath

Применение производной

Проектирование.  Архитекторы, дизайнеры и инженеры часто используют производные для оптимизации формы и структуры объектов , таких как здания, мосты или машины. Это позволяет создавать более эффективные и устойчивые конструкции.

С помощью производной проектировщики оптимизируют свои конструкции, моделируют различные динамики и в целом проводят анализ. Производная и здесь является неким стратегом. Причем, очень достойным стратегом, который является незаменимым помощником любого проектировщика, архитектора или дизайнера.

https://t.me/zanimmath

Задание на дом

• Выучить понятия, формулы
• Решить задачи:

Задача 1. Найти производную:

Задача 2. Закон движения точки по прямой задается формулой ,

где t время (в секундах), S(t) – отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите мгновенную скорость движения точки в момент времени t=5 сек .

Ответы: Задача 1. 2 Задача 2. 29

https://t.me/zanimmath