Презентация к уроку "Простейшие вероятностные задачи"

Наша жизнь наполнена событиями…..

События бывают….

Урок алгебры в 9 классе

Решение простейших вероятностных задач.

Урок алгебры в 9 классе

МБОУ СОШ г. Курска учитель: Ельникова С. Н.

Посмотрите на них очень внимательно. Попробуйте их ощутить, как самое себя. Какая из фигур Вам ближе, роднее? Про какую из фигур можете сказать: "Вот это точно я".

Каждая тренировка имеет значение,

каждое усилие делает тебя сильнее,

каждая попытка даёт тебе ещё

один шанс!

Что такое событие?

• В теории вероятностей под событием понимают то, относительно чего после некоторого момента времени можно сказать одно и только одно из двух. Да, оно произошло. Нет, оно не произошло.

Что такое случайное событие?

В жизни мы постоянно сталкиваемся с тем,

что некоторое событие может произойти, а может и не произойти. Непредсказуемые события называются случайными

0 ≤ Р (А) ≤ 1

Примеры.

• При бросании кубика выпадет шестерка.

• У меня есть лотерейный билет.

После опубликования результатов розыгрыша лотереи интересующее меня

событие – выигрыш тысячи рублей, либо происходит, либо не происходит.

Теория вероятностей  

Теория вероятностей — наука о вычислении вероятностей случайных событий. Основной объект изучения теории вероятностей: - случайное событие и его вероятность;

Замечательно, что наука, которая начала с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания. Ведь большей частью жизненные вопросы являются на самом деле задачами из теории вероятностей.

П. Лаплас

Равновозможные и неравновозможные события .

Равновозможными называются события, когда в их наступлении нет преимуществ.

Неравновозможные события те, у которых в наступлении одного из событий есть какое то преимущество.

Примеры.

• Появление герба или надписи

при бросании монеты представляют

собой равновероятные события.

• Пусть бросают игральную кость. В силу симметрии кубика можно считать, что появление любой из цифр 1, 2, 3, 4, 5 или 6 одинаково возможно (равновероятно).

Совместные и несовместные события.

Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называются совместными, а те, которые не могут происходить одновременно, - несовместными.

Пример.

Брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» - несовместные.

Достоверные события.

Событие, которое происходит всегда, называют достоверным.

Вероятность достоверного события равна 1

Р(А) = 1

Примеры.

• В следующем году снег выпадет.
• При бросании кубика выпадет число, меньше семи.
• Ежедневный восход солнца .

• Пусть, например, из урны, содержащей только черные шары, вынимают шар.

Тогда появление черного шара –

достоверное событие

Невозможные события.

Событие, которое не может произойти, называется невозможным.

Вероятность невозможного события равна 0.

Р(А) = 0

Примеры.

• В следующем году снег не выпадет.
• При бросании кубика выпадет семерка.

• Пусть, например, из урны, содержащей только черные шары, вынимают шар. Тогда появление белого шара – невозможное событие.

Противоположные события

События А и В называются противоположными

если всякое наступление события А означает

ненаступление события В, а ненаступление события А – наступление события В. Событие, противоположное событию А, обозначают с имволом Ᾱ . Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

P(A)+P( Ᾱ )=1 .

Пример.

Бросаем один раз игральную кость. Событие А – выпадение четного числа очков, тогда событие Ā - выпадение нечетного числа очков.

• Кроссворд

2

6

1

.

3

4

5

7

8

• Кроссворд

2

6

с

о

3

Б

4

ы

т

5

и

е

7

8

• Кроссворд

Д

О

6

С

с

Т

О

о

3

Б

4

В

ы

Е

т

5

Р

и

Н

е

7

О

8

Е

• Кроссворд

Д

6

О

С

с

Т

О

о

В

Б

4

В

Е

ы

Е

Р

т

5

Р

Н

О

и

7

Я

е

О

Е

Т

8

Н

О

С

Т

Ь

• Кроссворд

Д

6

О

С

с

Т

о

О

В

Б

Р

В

А

Е

Е

ы

Р

т

5

Р

В

Н

Н

и

О

е

Я

7

О

О

Т

Е

8

В

Н

О

З

О

С

М

Т

О

Ь

Ж

Н

Ы

Е

• Кроссворд

Д

О

6

С

с

Т

о

О

Б

В

Р

В

А

Е

Е

ы

С

т

Р

В

Р

О

и

Н

Н

Л

Я

У

7

е

О

О

В

Ч

8

Т

Е

А

Н

О

О

З

Й

С

Н

М

Т

О

О

Ь

Е

Ж

Н

Ы

Е

• Кроссворд

Д

П

О

С

Р

с

Т

О

о

О

Т

Б

В

Р

В

И

Е

В

А

Е

ы

Р

т

С

Р

В

О

и

О

Н

Л

П

Н

е

У

7

Я

О

О

О

8

Е

Л

Т

В

Ч

Н

А

О

О

О

З

Й

Ж

Н

С

М

Н

Ы

Т

О

О

Ь

Е

Е

Ж

Н

Ы

Е

• Кроссворд

Д

О

П

Р

С

с

Т

О

О

Т

о

В

Б

И

В

Р

Е

ы

В

Е

А

С

Р

т

О

В

Р

Л

Н

О

П

Н

и

Я

У

Н

е

О

О

О

Л

О

8

Е

Ч

Т

В

Л

Н

А

О

О

Ж

Ь

О

Й

З

Н

С

М

Н

Ы

Т

О

О

Ь

Е

Е

Ж

Н

Ы

Е

• Кроссворд

Д

П

О

С

Р

с

Т

О

О

Т

о

В

Б

Р

В

И

А

ы

Е

В

Е

Р

С

т

В

О

Р

О

и

Н

Л

Н

П

е

Я

Н

У

О

О

О

О

Е

Ч

Л

В

Е

Т

Л

Н

А

Д

О

О

Ь

З

О

Й

И

Ж

Н

С

Н

Н

М

Т

О

О

И

Ы

Ь

Е

Ц

Ж

Е

Н

А

Ы

Е

• Кроссворд

Д

П

О

С

Р

с

Т

О

О

Т

о

В

Б

Р

В

И

А

ы

Е

В

Е

Р

С

т

В

О

Р

О

и

Н

Л

Н

П

е

Я

Н

У

О

О

О

О

Е

Ч

Л

В

Е

Т

Л

Н

А

Д

О

О

Ь

З

О

Й

И

Ж

Н

С

Н

Н

М

Т

О

О

И

Ы

Ь

Е

Ц

Ж

Е

Н

А

Ы

Е

Исторический экскурс

• Основателями теории вероятностей

были французские математики Б.Паскаль и П.Ферма и голландский учёный Х.Гюйгенс

Б.Паскаль

Х.Гюйгенс

• В XVIII в. – книга

Я.Бернулли «Искусство предположений»

(1713г)

Я.Бернулли

Классическое определение вероятности.

Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания.

Алгоритм нахождения вероятности

случайного события.

Для нахождения вероятности случайного события А при проведении некоторого испытания следует найти:

1) число N всех возможных исходов данного испытания;

2) количество N ( A ) тех исходов, в которых наступает событие А;

3) частное , оно и будет равно вероятности события А.

• 1) число N всех возможных исходов данного испытания; 2) количество N ( A ) тех исходов, в которых наступает событие А; 3) частное , оно и будет равно вероятности события А.

Принято вероятность события А обозначать так: Р(А).

Значит

1 .

Невооруженным глазом ночью на небе можно увидеть 6000 звезд. Звезды составляют созвездия.  В созвездии Большой Медведицы 7 звезд. Найдите вероятность, что случайно увиденная звезда из этого созвездия?

7/6000

1 .

Кто действительно побывал до Гагарина в космосе, так это известные всему миру собаки Белка и Стрелка, которые после трех суток полета на орбите удачно вернулись на Землю. Далеко не все эксперименты были успешны. Во время космических испытаний погибло 20 собак. Найдите вероятность удачного полёта. 

1/11

Для первого полёта готовили 20 кандидатов.  Какова была вероятность, что первым станет Гагарин?

1/20

1 .

Площадь всей поверхности Земли составляет 510 млн кв км, площадь поверхности суши равна 149 млн кв км ? Какова вероятность того, что обломки упадут в океан?

361/510

1 .

• На завод привезли партию из 1000 подшипников. Случайно в эту партию попало 30 подшипников, не удовлетворяющих стандарту.
• Определить вероятность того, что взятый наудачу подшипник окажется стандартным .

Решение. Число стандартных подшипников равно 1000 – 30 = 970. Будем считать, что каждый подшипник имеет одинаковую вероятность быть выбранным. Тогда полная группа событий состоит из N = 1000 равновероятных исходов, из которых событию А благоприятствуют N ( A ) = 970 исходов.

Поэтому

Р(А) =

Ответ: 0,97 .

2.

• Найдите вероятность того, что при одном бросании игральной кости выпадает

a) три очка

б) число очков, кратное трём ?

в) число очков, больше трёх ?

г) число очков, не кратное трём ?

Решение . Всего имеется N =6 возможных исходов: выпадение 1,2,3,4,5,6 очков. Считаем, что эти исходы равновозможны.

а) Только при одном из исходов N (А)=1 происходит интересующее нас

событие А – выпадение трех очков. Вероятность этого события

.

б) При двух исходах N ( B ) = 2 происходит событие B : выпадение числа очков кратных трем: выпадение или трех или шести очков. Вероятность такого события

.

в) При трех исходах N ( C ) = 3 происходит событие C : выпадение числа очков больше трех: выпадение четырех, пяти или шести очков. Вероятность этого события

.

.

г) Из шести возможных выпавших чисел четыре (1, 2, 4 и 5) не кратны трем, а остальные два (3 и 6) делятся на три. Значит, интересующее нас событие D ,

наступает в четырех случаях, т.е. N ( D ) = 4. Вероятность такого события:

.

Ответ: а)

; в)

; б)

; г )

3.

• Найти вероятность того, что при подбрасывании двух костей суммарное число очков окажется равным 5.

Решение. Возможно следующее сочетание очков на первой и второй костях:

1 + 4, 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1 – четыре благоприятных случая ( N ( A ) = 4). Всего возможных исходов N = 6·6 = 36 (по шесть для каждой кости). Тогда вероятность рассматриваемого события

.

Ответ:

• Научная конференция проводится 3 дня. Всего запланировано 50 докладов: в первый день – 30 докладов, а остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьевкой.
• Какова вероятность, что

доклад профессора М.

окажется запланированным

на последний день конференции?

• доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

4.

Решение.

.

Так как в третий день будут слушать 10 докладов, то благоприятных исходов N (А) = 10, а всего докладов 50, т.е. равновозможных исходов N = 50. Поэтому

Ответ: 0,2.

5.

• Перед началом первого тура чемпионата по теннису разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 46 теннисистов, среди которых 19 участников из России, в том числе Ярослав Исаков.
• Найдите вероятность того, что в первом туре Ярослав Исаков будет играть с каким – либо теннисистом из России?.

Решение.

Число всех исходов N = 45. Число элементарных событий, благоприятствующих событию А равно 18. Все элементарные события равновозможны по условию задачи, поэтому

Ответ: 0,4.

Ответы:

Задача 1.

Ответ : 0,25.

Задача 2.

Ответ : 0,375.

Задача 3.

Ответ : 0,92.

Ответ : 1.

Задача 4.

Ошибка Даламбера

.

Какова вероятность, что подброшенные вверх две правильные монеты упадут на одну и ту же сторону?

Решение, предложенное Даламбером:

Опыт имеет три равновозможных исхода:

1)Обе монеты упали на «орла».

2)Обе монеты упали на «решку».

3)Одна из монет упала на «орла»,

другая на «решку».

N = 3; N(A) = 2; P(A) = 2/3

.

Правильное решение

Нельзя объединять два принципиально разных исхода в один. Природа различает все предметы!!!

• Орел, орел
• Решка, решка
• Орел, решка
• Решка, орел

N = 4; N(A) = 2; P(A) = 1/2

Посмотрите на них очень внимательно. Попробуйте их ощутить, как самое себя. Какая из фигур Вам ближе, роднее? Про какую из фигур можете сказать: "Вот это точно я".

Подведем итоги

Спасибо за внимание!