Устная работа
- Какие комбинации элементов вы знаете?
- Что такое перестановки? Как найти количество перестановок из N элементов?
- Что такое сочетания и размещения из n элементов по K элементов ? Чем они отличаются друг от друга? Как их найти?
Вычислите:
6!/4 !
5!/3 !
5!
3!
120
20
6
30
7!
7· 6!
48
4!· 2!
2 .Восстановите соответствие типов соединений и формул для их подсчёта
1
А сочетания
2
В размещения
3
С перестановки
Тема урока: «Решение комбинаторных задач.
Сочетания»
Самостоятельная работа. Задача 1
В парке 4 пруда. Было решено засыпать песком дорожки между ними так, чтобы можно было пройти от одного пруда к другому кратчайшим путем, т.е. не нужно было идти в обход.
Задание: покажи, какие дорожки надо сделать. Сколько вариантов получится?
Задача 2
У Миши 6 яблок. Из них 4 красных и 2 зеленых. Миша съел 3 яблока. Какого цвета могли быть яблоки? Сколько вариантов у тебя получилось?
Ответы к задачам самостоятельной работы
Задача 1
Ответ: 6 вариантов
Задача 6
3 варианта
Задача 1.
В школе учатся 4 мальчика, которые хорошо играют в волейбол.
Сколькими способами можно выбрать из них двух человек для участия в соревнованиях?
Решение:
Дадим каждому мальчику номер от 1 до 4. Тогда каждую пару можно закодировать двухзначным числом. Ясно, что кодов 11, 22, 33 и 44 быть не может. Кроме того, такие коды, как, например, числа 24 и 42, означают одну и ту же пару школьников, поэтому нужно учитывать только одно из чисел. Получим такие коды:
12 13 23
14 24
34
Всего 6 вариантов
Задача 2 (рассмотреть задачу 2 из школьного учебника).
Сколько словарей необходимо переводчику, чтобы он мог переводить непосредственно с любого из четырех языков — русского, английского, немецкого, французского — на любой другой из этих языков?
Решение:
АН АР АФ
НА HP НФ
РА РН РФ
ФА ФН ФР
Ответ: 12 вариантов.
Задача 3.
Андрей зашел в магазин, чтобы купить футболки. В магазине оказались футболки четырех цветов: белые, голубые, красные и черные.
Обозначьте цвета буквами Б, Г, К, Ч. Запишите все варианты покупки, осуществляя их перебор в алфавитном порядке:
- а) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две футболки?
ББ, БГ, ..............................
Ответ: .............................
- б) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две футболки разного цвета? Ответ: .................................
Решение задачи 3 с помощью таблицы.
Б
Б
Г
Г
ББ
К
ГБ
К
БГ
ГГ
КБ
Ч
Ч
БК
ГК
ЧБ
БЧ
КГ
ГЧ
ЧГ
КК
ЧК
КЧ
ЧЧ
Решение задачи 3 с помощью таблицы.
Б
Б
ББ
Г
Г
ГБ
К
К
БГ
Ч
Ч
ГГ
БК
КБ
ЧБ
ГК
КГ
БЧ
ГЧ
КК
ЧГ
ЧК
КЧ
ЧЧ
Ответ: 6 вариантов
Что общего вы увидели в этих задачах?
Почему в первой и третьей задачах мы получили 6 способов, а во второй 12?
Вы видите, что в в этих задачах надо было из четырех элементов выбрать два.
- В первой задаче коды 12 и 21 считались одинаковыми, в третьей ГБ и БГ, а во второй АН и НА – разные.
Таким образом, в обеих задачах нужно было, как говорят в математике, составить сочетания из четырех элементов по два. В первой задаче нам был не важен порядок этих сочетаний, то есть выбор двух школьников или футболок был равноправен , А во второй задаче при работе с двумя языками, например русским и английским, нужны два словаря: англо-русский и русско-английский. Поэтому порядок сочетаний был важен, и именно поэтому в результате получилось ровно в два раза больше вариантов.
- Комбинаторные задачи, в которых нужно выбрать из n элементов т элементов
( т n ) всевозможными способами, называются задачами на сочетания.
Формирование умений и навыков
Выпишите все возможные двузначные
и трехзначные числа, которые
можно составить из цифр 0, 1,2, 3,
используя каждую цифру в
записи только один раз.
Задача № 868
- 10,12,13, 20,21, 23, 30,31, 32.
- Всего 9 вариантов.
- 102, 103, 120, 123, 130, 132, 201, 203, 210, 213, 230, 231, 301, 302, 310, 312, 320, 321.
- Всего 18 вариантов.
- а) На соревнование по легкой атлетике нужно отправить двух мальчиков из пяти лучших спортсменов среди шестиклассников — Антона, Петра, Бориса, Володи, Коли. Перечислите все варианты выбора участников соревнования. Сколько этих вариантов?
- б) Для участия в эстафете 2x100 м нужно выбрать двух мальчиков из пяти, обязательно указав, кто побежит первым, а кто — вторым. Перечислите все варианты выбора участников соревнования в этом случае. Сколько этих вариантов?
Решение задачи № 869 (а) (б)
- АБ, АВ, АК, АП, АБ, АВ, АК, АП,
- БВ, БК, БП, БА, БВ, БК, БП,
- ВК, ВП, ВА, ВБ, ВК, ВП,
- КП КА, КБ, КВ, КП
- ПА, ПБ, ПВ, ПК.
- Порядок не важен Порядок важен
Всего 10 вариантов. Всего 20 вариантов.
- В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?
Решение. По правилу умножения двух девушек
можно выбрать 14 ·13 = 182 способами, а двух юношей 6·5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студентов или студенток. Согласно правилу сложения таких способов выбора будет N =182 + 30 = 212.
Задача 1
Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий?
Задача 1
10 рукопожатий
Такое решение задачи называют – решением с помощью графов
Задача 2
В класс пришли четыре новых ученика Миша, Вася, Катя, Лиза. С помощью дерева возможных вариантов покажи, все возможные варианты расположения четырех учеников за одной партой. Сколько вариантов выбора у него будет?
Решение
Решение задачи 2
12 вариантов
*
Вычислите :
56
24
Задача 3
В чемпионате по футболу участвовали 7 команд. Каждая команда играла 1 матч с другими командами. Сколько всего было встреч?
Ответ к задаче 3
Ответ: 21 матч.
- Миша решил в воскресенье навестить дедушку, своего друга Петю и старшего брата Володю. В каком порядке он может организовать визиты? Сколько вариантов получилось? Решить с помощью дерева вариантов.
Подведение итогов
- Какие комбинации элементов вы знаете?
- Что такое перестановки? Как найти количество перестановок из N элементов?
- Что такое сочетания и размещения из n элементов по K элементов ? Чем они отличаются друг от друга?
Задание № 6 Выпиши тот фразеологизм,
которая характеризует твою работу на занятии
ЗНАЮ…
ЗАПОМНИЛ…
СМОГ…
Домашняя работа
В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек.
Для уборки территории нужно выделить 4 мальчиков и 3 девочек.
Сколькими способами это можно сделать?
Спасибо за урок