Россия, Димитровград
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 07.09.2025 19:32
Кожухарь Елена Дмитриевна
Учитель математики
345
123 181 
Местоположение
Специализация
Презентация к уроку "Скалярное произведение векторов"
Категория:
Геометрия
20.02.2025 21:36
Просмотр содержимого документа
«Презентация к уроку "Скалярное произведение векторов"»
Рисунки Савченко Е.М. Все рисунки в презентации выполнены с помощью инструментов панели рисования программы Microsoft PowerPoint .
Найти углы между векторами.
a
b
30 0
=
f
a
a
c
120 0
=
f
a
d
d
30 0
b
c
90 0
=
b
c
b
d
c
180 0
=
Два вектора называются перпендикулярными ,
если угол между ними равен 90 0 .
f
d
0 0
=
f
b
c
b
b
d
2
№ 1039 Диагонали квадрата пересекаются в точке О. Найдите углы между векторами.
45 0
АВ, АС =
С
В
90 0
АВ, D А =
O А, OB =
90 0
О
180 0
O А, O С =
D
А
90 0
А C , BD =
135 0
А D , DB =
0 0
А O , OC =
3
Сумма векторов – вектор.
Разность векторов – вектор.
Произведение вектора на число – вектор.
Скалярное произведение векторов – число.
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
a
a
b
a
b
cos ( )
b
=
4
b
a
= 90 0
0
a
b
a
cos 90 0
b
=
= 0
b
a
a
b
Если векторы и перпендикулярны, то скалярное произведение векторов равно нулю.
a
b
a
b
= 0
Обратно: если , то векторы и перпендикулярны.
Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
a
b
a
b
= 0
5
0 a b a b cos 0 b = a Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда , когда угол между векторами острый. b a a b 90 0 0 6 " width="640"
a
b
90 0
0
a
b
a
b
cos
0
b
=
a
Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда , когда угол между векторами острый.
b
a
a
b
90 0
0
6
90 0 0 a b a b cos 0 b = a Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда , когда угол между векторами тупой. a b b a 90 0 0 7 " width="640"
a
b
90 0
0
a
b
a
b
cos
0
b
=
a
Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда , когда угол между векторами тупой.
a
b
b
a
90 0
0
7
a
b
Если
a
b
= 0 0
b
1
a
a
a
b
a
cos 0 0
b
b
=
=
b
a
b
Если
a
b
a
= 180 0
-1
a
a
a
b
b
b
cos 180 0
= –
=
8
a
a
= 0 0
1
a
a
a
a
a
cos
a
a
a 2
0 0
=
=
=
a
a
Скалярное произведение называется
скалярным квадратом вектора и обозначается
a
a 2
Таким образом,
скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
a 2
a 2
=
9
0 c a = 0 c b 0 b n a a 0 35 0 a c a n 0 c n = 0 b n 0 10 " width="640"
a
b
Определите знак
скалярного произведения.
0
c
a
= 0
c
b
0
b
n
a
a
0
35 0
a
c
a
n
0
c
n
= 0
b
n
0
10
Скалярное произведение в физике
Скалярное произведение векторов встречается в физике. Например, из курса механики известно, что работа A постоянной силы F при перемещении тела из точки M в
F
N
M
точку N равна произведению силы F и перемещения MN на косинус угла между ними.
A = F MN cos
A = F MN
11
Заполните пропуски, чтобы получилось верное высказывание
…
АС, СВ =
9 0 0
…
15 0 0
АВ, СА =
А
АВ, СВ =
…
6 0 0
30 0
6
т.к.
0
C В СА
…
C В C А =
АВ ВА =
– B А B А =
– B А 2 =
…
= –3 6
– 6 2
– B А 2 =
В
С
12
Маленький тест
1
6 3 cos 60 0 =
cos
18
ВС, ВА =
ВС ВА
ВС ВА =
2
ПОДУМАЙ!
В
1
9
60 0
6
ВЕРНО!
2
9
30 0
А
С
3
ПОДУМАЙ!
18
Проверка
Скалярное произведение векторов
и :
АС ВА
отрицательно, т.к. угол между
векторами тупой
В
ВЕРНО!
6
1
отрицательно;
30 0
А
ПОДУМАЙ!
С
2
равно нулю;
ПОДУМАЙ!
3
положительно.
Проверка (2)
Скалярное произведение координатных векторов
и :
j
i
равно нулю, т.к. угол между
векторами прямой
y
ПОДУМАЙ!
1
1
j
x
ПОДУМАЙ!
2
– 1
О
1
i
ВЕРНО!
3
0
Проверка
i
Скалярный квадрат вектора равен:
Скалярный квадрат вектора
равен квадрату его длины.
ВЕРНО!
1
1
i 2 = i 2 = 1 2 = 1
ПОДУМАЙ!
2
– 1
ПОДУМАЙ!
3
0
Проверка
b = 4 ,
b
12
3
4
= 12,
a
a = 3 ,
Если
a
b
то векторы и :
a
b
b
a
a
cos
b
=
ВЕРНО!
a
b
12 = 3 4 cos
1
сонаправлены;
b
a
cos = 1
ПОДУМАЙ!
2
перпендикулярны;
a
b
= 0 0
3
ПОДУМАЙ!
противоположно направлены.
a
b
если
Проверка (4)
y
x
– 20
x = 4 ,
y = 5 ,
5
= – 2 0 ,
4
Если
x
y
то векторы и :
x
x
y
x
y
y
cos
=
ПОДУМАЙ!
y
x
– 20 = 4 5 cos
1
сонаправлены;
ПОДУМАЙ!
x
y
cos =
– 1
2
перпендикулярны;
ВЕРНО!
x
y
= 180 0
3
противоположно направлены.
x
y
Проверка ( 4 )
если
m
n
Найдите угол между векторами и , если
n
n = 6 .
m = 5 ,
= –15 ,
m
ПОДУМАЙ!
1
50 0
ПОДУМАЙ!
2
60 0
ВЕРНО!
3
Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда , когда угол между векторами тупой
120 0
Проверка
8
12
3
b = 8,
a = 3,
= 12,
a
b
Если
то угол между векторами
и равен:
a
b
a
a
b
a
b
cos
b
=
ПОДУМАЙ!
b
a
12 = 3 8 cos
30 0
1
ВЕРНО!
2
1
b
a
cos =
60 0
2
ПОДУМАЙ!
3
120 0
a
b
= 60 0
Проверка ( 3 )
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
