Презентация к уроку "Вписанная окружность"

Вписанная окружность

Выполнила: Антипова Галина Ивановна

МБОУ «Золотополенская ОШ», Республика Крым

Определение: окружность называется вписанной в треугольник,

если все стороны треугольника касаются окружности.

На каком рисунке окружность вписана в треугольник:

3)

1)

2)

5)

4)

Если окружность вписана в треугольник,

то треугольник описан около окружности.

Теорема . В треугольник можно вписать окружность,

и притом только одну.

Её центр – точка пересечения биссектрис треугольника.

В

Е

Дано: АВС

А 1

С 1

Доказать: существует Окр.(О; r ),

вписанная в треугольник

О

К

Доказательство:

А

Р

В 1

С

Проведём биссектрисы треугольника:АА 1 , ВВ 1 , СС 1 .

По свойству (замечательная точка треугольника)

биссектрисы пересекаются в одной точке – О,

и эта точка равноудалена от всех сторон треугольника, т. е :

ОК = ОЕ = ОР, где ОК АВ, ОЕ ВС, ОР АС, значит,

О – центр окружности, а АВ, ВС, АС – касательные к ней .

Значит, окружность вписана в АВС.

№ 1 .

Окружность, вписанная в четырёхугольник

М

В

С

О

Н

Е

К

Т

А

Определение: окружность называется вписанной

в четырёхугольник, если все стороны

четырёхугольника касаются её.

На каком рисунке окружность вписана в четырёхугольник:

2)

1)

3)

Теорема: если в четырёхугольник вписана окружность,

то суммы противоположных сторон

четырёхугольника равны

М

В

С

О

Н

АВ + СК = ВС + АК.

Е

К

Т

А

Обратная теорема: если суммы противоположных сторон

выпуклого четырёхугольника равны,

то в него можно вписать окружность.

№ 2 .Най­ди­те вы­со­ту тра­пе­ции, в ко­то­рую впи­са­на окруж­ность ра­ди­у­са 1.

Ответ: 2

№ 3 .Пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка, опи­сан­но­го около окруж­но­сти, равен 24, две его сто­ро­ны равны 5 и 6. Най­ди­те боль­шую из остав­ших­ся сто­рон.

Решение.

Для четырехугольника, описанного вокруг окружности AB + DC = AD + BC = P : 2 = 24 : 2 = 12.

В задании даны две стороны, но из сумма 11 , значит, это длины не противоположных сторон. Пусть AD=6, AB=5, тогда DC = 1 2- AB = 12 – 5 = 7, а другая сторона

BC=12 – AD = 12 – 6 = 6. Следовательно,

большая из вычисленных сторон, равна 7.

Ответ: 7

№ 4. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции, опи­сан­ной около окруж­но­сти, равен 32, её боль­шая бо­ко­вая сто­ро­на равна 9. Най­ди­те ра­д­иус окруж­но­сти.

Решение:

А

В

В трапецию можно вписать окружность, если суммы противоположных сторон равны

AB + DC = AD + BC

AD + DC = 32 : 2 = 16

Противоположная сторона большой боковой стороне = 16 – 9 = 7 = диаметру окружности

Радиус = 7 : 2 =3.5

С

D

Ответ: 3,5

№ 5. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 32.

Решение:

Пусть сторона AB равна x, AD равна 2x, а DC - 3x. По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,

x+3x=BC + 2x

Получается, что BC равна 2x. Тогда периметр четырехугольника равен 8x. Мы получаем, что x=4, а большая сторона равна 12.

Ответ: 12.

№ 6 . Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите её среднюю линию.

Решение:

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

Так как четырёхугольник является описанным, то ВС + AD = AB + CD = 20

Средняя линия равна ( ВС + AD ) : 2 =

20 : 2 = 10

Ответ: 10