Презентация на тему "Вписанная окружность"

Вписанная окружность

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник.

А многоугольник называется описанным около этой окружности.

D

С

О

E

В

А

2

Определение: окружность называется вписанной в треугольник,

если все стороны треугольника касаются окружности.

На каком рисунке окружность вписана в треугольник:

3)

1)

2)

5)

4)

Если окружность вписана в треугольник,

то треугольник описан около окружности.

Теорема. В треугольник можно вписать окружность,

и притом только одну.

Её центр – точка пересечения биссектрис треугольника.

В

Е

Дано: АВС

А 1

С 1

Доказать: существует Окр.(О;r),

вписанная в треугольник

О

К

Доказательство:

А

Р

В 1

С

Проведём биссектрисы треугольника:АА 1 , ВВ 1 , СС 1 .

По свойству (замечательная точка треугольника)

биссектрисы пересекаются в одной точке – О,

и эта точка равноудалена от всех сторон треугольника, т. е :

ОК = ОЕ = ОР, где ОК АВ, ОЕ ВС, ОР АС, значит,

О – центр окружности, а АВ, ВС, АС – касательные к ней.

Значит, окружность вписана в АВС.

Важная формула

Дано: Окр.(О;r) вписана в АВС,

В

А

r

О

r

r

S ABC = · r

С

Задача 1. В равносторонний треугольник со стороной 4 см

вписана окружность. Найдите её радиус.

Решение:

S = Р · r

S =

и

S =

r

=

а

P = ½ ·4 · 3 = ½ · 12 = 6(см) - полупериметр

r

r =

(см)

Ответ:

(см)

Задача 2: в прямоугольный треугольник вписана окружность,

гипотенуза точкой касания делится на отрезки 6 см и 4 см.

Найдите радиус вписанной окружности.

А

Дано: АВС, С = 90 0

Окр.(О;r) вписана,

АМ = 6 см, ВМ = 4 см

Найти: r.

6

Решение:

М

r

О

АВ = АМ + ВМ = 6 + 4 = 10(см)

r

4

К

r

Т. к. Окр.(O;r) вписана в АВС, то

АВ, АС,ВС – касательные и по свойству

касательных, проведённых из одной точки:

АМ = АК = 6 см, ВЕ = ВМ = 4 см, СК = СЕ

С

В

Е

,

Т. к. С = 90 0 , то СКОЕ – квадрат, поэтому СК = СЕ = r.

АС= 6+ r, ВС = 4 + r

По теореме Пифагора: АС 2 + ВС 2 = АВ 2

(6 + r) 2 + (4 + r) 2 = 10 2

Решив квадратное уравнение, получим r = 2 см

Ответ: 2 см

Нужная формула для радиуса окружности,

вписанной в прямоугольный треугольник

А

- катеты, с - гипотенуза

Доказательство:

c

b

Т. к. Окр.(О;r) вписана в треугольник АВС,

у которого угол С – прямой, то

М

О

r

r

К

АС, ВС, АВ – касательные и

r

СКОЕ – квадрат, значит, СК = СЕ = r

В

С

Е

a

По свойству касательных: ВЕ = ВМ = а - r

АК = АМ = b - r

AB = AM + BM

c = b – r + a - r

2r = a + b - c

r = ½ (a + b – c)

Свойство описанного четырехугольника

В

С

О

К

А

Окружность, вписанная в четырёхугольник

М

В

С

О

Н

Е

К

Т

А

Окружность называется вписанной в четырёхугольник, если все стороны четырёхугольника касаются её.

На каком рисунке окружность вписана в четырёхугольник:

2)

1)

3)

Всегда ли можно вписать окружность в четырехугольник?

Всегда ли можно вписать окружность в треугольник?

Теорема: если в четырёхугольник вписана окружность,

то суммы противоположных сторон

четырёхугольника равны ( в любом описанном

четырёхугольнике суммы противоположных

сторон равны) .

М

В

С

О

Н

АВ + СК = ВС + АК.

Е

К

Т

А

Обратная теорема: если суммы противоположных сторон

выпуклого четырёхугольника равны,

то в него можно вписать окружность.

Задача : в ромб, острый угол которого 60 0 , вписана окружность,

радиус которой равен 2 см. Найти периметр ромба.

В

L

S

Дано: Окр.(О; 2 см) вписана

в ромб FSLZ, F = 60 0 .

O

Найти: Р FSLZ

2

Решение:

Z

С

А

F

Т. к. окружность вписана в ромб, то стороны ромба

касаются окружности, значит, АВ FZ, AB = 2r = 4см – диаметр.

Проведём SC FZ, SC = AB (как перпендикуляры между

параллельными прямыми), SC = 4см

FSC – прямоугольный,

(cм).

Р FSLZ = 4FS = 4 ·

см

Ответ:

Реши задачи

В

1)

С

Дано: Окр.(О; r) вписана в АВСК,

Р АВСК = 10

О

Найти: ВС + АК

r

К

А

2)

В

С

6

Дано: АВСМ описан около Окр.(О; r)

BC = 6, AM = 15,

СМ = 2 АВ

Найти: АВ, СМ

А

М

15