Вписанная и описанная окружности

Вписанная и описанная

окружности

Геометрия, 8 класс

К учебнику Л.С.Атанасяна

Автор: Софронова Наталия Андреевна,

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»

Оршанского района Республики Марий Эл

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

С

В

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности

D

О

А

F

На каком рисунке окружность вписана в трапецию?

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 1

ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ТРЕУГОЛЬНИК

Всегда ли можно вписать окружность в треугольник?

Окружность, вписанная в треугольник

В

Каким свойством обладает точка О ?

F

Е

О

А

С

Р

Как расположена точка О по отношению к углу А треугольника АВС ?

Как расположена точка О по отношению к углу В треугольника АВС ?

Как расположена точка О по отношению к углу С треугольника АВС ?

Чем является точка О для треугольника АВС ?

В любой треугольник можно вписать окружность

ТЕОРЕМА.

КАК ?

В

(Центр? Радиус?)

К

Пусть точка О – точка

пересечения биссектрис

Е

О

С

А

М

Проведем ОЕ ⏊ АВ, ОК ⏊ ВС, ОМ ⏊ АС.

ОЕ = ОК = ОМ, значит окружность проходит через точки Е, К и М

Радиус ОЕ перпендикулярен к АВ, значит АВ – касательная.

Аналогично …

Вывод: Окружность касается всех сторон треугольника, поэтому она является вписанной в треугольник.

В любой треугольник можно вписать окружность

В

(Центр? Радиус?)

КАК ?

О

С

А

М

Центр окружности , вписанной в треугольник, – точка пересечения биссектрис.

Радиус – перпендикуляр, опущенный из точки О на любую сторону треугольника

ЗАМЕЧЕНИЯ

• В треугольник можно вписать

только одну окружность

(почему?)

О

2) Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность

Свойство описанного четырехугольника

B

b

b

AB + CD = a + b + c + d

c

C

BC + AD = b + c + a + d

c

а

AB + CD = BC + AD

d

A

а

d

D

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны

Свойство описанного четырехугольника

B

Обратно: Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

( см. задачу № 724, учебник ГЕОМЕТРИЯ 7-9, автор Л.С.Атанасян)

С

A

D

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

С

В

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

D

О

А

F

На каком рисунке окружность описана около четырехугольника?

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 2

Рис. 1

ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА

Всегда ли можно описать окружность около треугольника?

Окружность, описанная около треугольника

В

Каким свойством обладает точка О ?

О

С

Чем является точка О для треугольника АВС ?

А

Как расположена точка О по отношению к отрезку АВ?

Как расположена точка О по отношению к отрезку ВС ?

Как расположена точка О по отношению к отрезку АС ?

Около любого треугольника можно описать окружность

ТЕОРЕМА.

В

КАК ?

(Центр? Радиус?)

Пусть точка О – точка

пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

h

n

О

С

А

m

Получили: ОА = ОВ = ОC

Окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника АВС и, значит, является описанной около треугольника АВС.

О є m, значит ОА = ОC

О є n, значит ОА = ОВ

О є h, значит OB = ОC

В

Около любого треугольника можно описать окружность

КАК ?

n

О

(Центр? Радиус?)

С

А

m

Центр окружности , описанной около треугольника, – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Радиус – отрезок, соединяющий центр окружности и вершину треугольника.

ЗАМЕЧЕНИЯ

• Около треугольника можно описать только одну окружность

(почему?)

О

2) Около четырехугольника не всегда можно описать окружность

Свойство вписанного четырехугольника

B

C

A

D

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Свойство вписанного четырехугольника

B

Обратно : Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

C

( см. задачу № 729, учебник Геометрия 7-9, автор Л.С.Атанасян)

A

D

Задача 2 .

Задача 1 .

В

В

С

С

А

А

D

D

В четырёхугольнике АВСD АВ = 6, ВС = 9, СD = 14. Найдите АD, если известно, что в четырёх-угольник АВСD можно вписать окружность.

Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Известно, что угол В равен 83° , угол А меньше угла D на 20 0 . Найдите угол С .